Métrica del espacio-tiempo

En el espacio tridimensional, se puede expresar las coordenadas cartesianas $%% x,$ $y,$ $z$ como función de otras coordenadas generales $x^{i},$ de modo que las primera son función de éstas últimas. De esta manera, en forma general, se obtiene que el tensor métrico es

$$g_{ij}=\frac{\partial x}{\partial x^{i}}\frac{\partial x}{\... ...partial z}{\partial x^{i}}\frac{\partial z}{\partial x^{j}}$$ (1.9)

En un espacio plano o euclideano $g_{ij}=\delta _{ij},$ donde $\delta _{ij}=1$ si $i=j$ y $\delta _{ij}=0$ si $i\neq j.$ En este caso la métrica es $ds^2=\left( dx^1\right) ^2+\left( dx^2\right) ^2+\left( dx^3\right) ^2.$ Este concepto se puede extender al espacio-tiempo de cuatro dimensiones sin ningún problema, utilizando coordenadas $x^{\mu}$ para describir los eventos. En cuatro dimensiones el tensor métrico tendrá 16 componentes, de las cuales 10 son independientes en virtud de que este tensor es simétrico, es decir, $g_{\mu \nu }=g_{\nu \mu }.$ Es importante notar que en el espacio euclideano tridimensional, $g_{ij}$ simpre puede ser reducido a $\delta _{ij}$ en todo el espacio. En el espacio-tiempo generalmente es posible hacer lo mismo, aunque sólo localmente; es decir, reducir $g_{\mu \nu }$ a $\eta _{\mu \nu }.$ Por lo tanto, en presencia de un campo gravitacional no es posible cubrir todo el espacio con un único marco inercial. Además en el espacio euclideano la distancia que separa a dos puntos siempre es mayor que cero. Esto no sucede en el espacio-tiempo, en donde la distancia entre dos eventos puede ser positiva, negativa o cero. Una separación positiva expresa la posibilidad de que los dos eventos estén conectados causalmente y se puede encontrar un marco de referencia en el cual los eventos ocurran en el mismo lugar. Si la separación es negativa, los eventos no están conectados causalmente y uno no puede influir en el otro. Se puede encontrar un marco de referencia en donde estos eventos sean simultáneos. El caso en que la separación entre eventos sea cero se satisface sólo para una señal electromagnética o un pulso de luz, que viaje entre los dos eventos. [4]