LA RADIACTIVIDAD

La radiactividad fue descubierta en 1896 por Henri Becquerel cuando investigaba la fluoresencia de ciertos compuestos después de ser expuestos a la luz solar. Becquerel se percató accidentalmente que el uranisulfito de potasio era capaz de velar placas fotográficas sin necesidad de exponer el compuesto al sol y que su ``fluorecencia'' podía atravesar las envolturas en las que se encontraba la placa fotográfica. Pierre y Marie Curie continuaron con la investigación de Becquerel y descubrieron que el torio tenía la misma propiedad del uranio y la llamaron radiactividad. Los Curie descubrieron el polonio y el radio como nuevos elementos en la tabla periódica. Poco tiempo después Ernest Rutherford descubre que la radiación era un fenómeno compuesto y descubrió las partículas alfa y beta. En 1900 P. Villard descubre que un tercer componente de la radiación que era mucho más penetrante que las partículas $\alpha$ y $\beta$ y que no era desviado por campos eléctricos ni magnéticos, por lo que debía ser una onda electromagnética, a la que llamó rayos gamma. En 1934 J.-F. Joliot y I. Joliot-Curie logra formar átomos de $\ ^{30}$P radiactivos al bombardear átomos de $\ ^{27}$Al con partículas $\alpha$. En 1942 Fermi y sus colaboradores construyen el primer reactor nuclear autosostenido en el sótano de la universidad de Chicago con lo que la humanidad pudo generar elementos radiactivos artificialmente. La radiactividad es un proceso estocástico presente en la naturaleza en el cual un núcleo atómico inestable decae por medio de la emisión partículas $\alpha$, $\beta^-$ o captura electrónica (C.E.). Después del decaimiento el núcleo puede quedar en un estado excitado, es decir, con mayor energía de la que necesita para encontrarse en su estado base. Esta energía extra es liberada emitiendo rayos $\gamma$ característicos del núcleo. La energía de estos rayos $\gamma$ dependen de los niveles energéticos internos que son diferentes para todos los núcleos. El nuevo núcleo producido por el decaimiento del anterior puede ser también inestable y decaer a su vez en otro núcleo repitiendo todo el proceso. El comportamiento del núcleo se estudia dentro del campo de la mecánica cuántica lo que impide predecir el instante en el que un núcleo decae y solo es posible hablar en términos de la probabilidad de decaimiento por intervalo de tiempo. Si se considera que la probabilidad de que un núcleo decaiga por alguno de los tipos de emisión ya mencionados en un intervalo de tiempo $dt$, ésta es proporcional al intervalo de tiempo, esto es $\lambda dt$, donde $\lambda$ es la constante de decaimiento. Entonces se tiene que la cantidad de núcleos inestables $d{\cal N}$ que decaen en un intervalo de tiempo $dt$ es:

$$d{\cal N} = -\lambda {\cal N} dt$$

donde el signo negativo se introduce porque el número de núcleos se irá reduciendo. Al resolver la ecuación diferencial queda:

$${\cal N}(t) = {\cal N}_0 e^{-\lambda t}$$

donde ${\cal N}_0$ es el número inicial de átomos. Esta ecuación es conocida como Ley de Decaimiento Radiactivo. También ha sido observado que la mayoría de núcleos pueden decaer por tipos de emisión diferentes, es decir, tienen cierta probabilidad de decaer por partículas $\alpha$, cierta probabilidad de decaer por partículas $\beta$ y cierta probabilidad de decaer por C.E. Entonces la probabilidad de que este decaiga en un intervalo $dt$ es $\lambda_1 dt + \lambda_2 dt + \ldots + \lambda_n dt = \sum_i \lambda_i$ donde $\lambda_i$ es la constante asociada al tipo de decaimiento. Haciendo $\lambda_T =\sum_i \lambda_i$ la ecuación de decaimiento queda:

$${\cal N}(t) = {\cal N}_0 e^{-\lambda_T t}$$

A partir de esta ecuación se pueden definir una serie de parámetros para describir el comportamiento radiactivo: Vida promedio $\tau$: es el tiempo en el cual el número de átomo es igual a $N_0 e^{-1}$, es decir $\tau = 1/\lambda_T$. Vida media $T$: es el tiempo que tarda en reducirse el número de átomos a la mitad de su número inicial; esto es: $N=N_0 /2$, lo cual da:

$$T={\ln 2 \over \lambda_T} = \tau \ln 2$$

Probabilidad de emisión: este parámetro se refiere a la probabilidad de que el núcleo decaiga por un tipo específico de emisión y está dado por:

$$P.E._i = {\lambda_i \over \lambda_T}$$

La actividad: se define como el número de desintegraciones que ocurren por unidad de tiempo, es decir:

$${\cal A}=\left\vert {d{\cal N} \over dt}\right\vert = \lambda_T {\cal N} = {\cal A}_0 e^{-\lambda_T t}$$

donde ${\cal A}_0$ es la actividad inicial cuando existían ${\cal N}_0$ núcleos emisores. Cuando el núcleo producto de la desintegración radiactiva es también inestable, entonces se tiene una cadena y la existencia de los núcleos producto (hijos) dependen de la actividad de los núcleos que los producen (padres) y el comportamiento se describe de la siguiente forma:

$$\begin{eqnarray*} {d{\cal N}_1 \over dt} &=& -\lambda_1 {\cal N}_1 \cr {d{\cal... ...& \lambda_2 {\cal N}_2 - \lambda_3 {\cal N}_3 \cr & \vdots \cr \end{eqnarray*}$$

cuya solución es:

$$\begin{eqnarray*} {\cal N}_1 &=& a_{11}e^{-\lambda_1 t} \cr {\cal N}_2 &=& a_{2... ...a_{32}e^{-\lambda_2 t}+ a_{33}e^{-\lambda_3 t}\cr & \vdots \cr \end{eqnarray*}$$

De las condiciones iniciales se tiene que:

$$\begin{eqnarray*} a_{11} & = &{\cal N}_1 (0) \cr \sum_{i=1}^k a_{ki} &=& 0 \cr \end{eqnarray*}$$

al introducir estas condiciones en las ecuaciones diferenciales nuevamente se tiene:

$$\begin{eqnarray*} a_{21} &=& {\lambda_1 \over \lambda_2 -\lambda_1} a_{11}\cr a_{22}& = &{\lambda_1 \over \lambda_1 -\lambda_2} a_{11}\cr \end{eqnarray*}$$

y para el resto de coeficientes:

$$a_{ki}={\lambda_{k-1} \over \lambda_k - \lambda_i} a_{k-1,i} \qquad k>2, \qquad k\neq i$$

De esta forma, si se conocen las constantes de decaimiento para cada núcleo en una cadena se puede estimar la cantidad de núcleos que habrán en un instante dado.