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Distribución Maxwell-Boltzmann

Esta distribución se aplica al caso clásico, esto es, cuando las partículas se encuentran separadas distancias considerables y son distinguibles. Desde el punto de vista cuántico, las funciones de onda no se traslapan considerablemente.

El número de partículas $(n)\,$con una energía dada $
(E)$ estará dado por


\begin{displaymath}
n(E)=g(E)f(E)
\end{displaymath} (3)

dónde $g(E)$ es el número de estados de energía $E$ y corresponde al peso estadístico de la energía $E.$ $f(E)\,$es la función de distribución y corresponde al número promedio de partículas en cada estado de energía $E,$ así como la probabilidad de ocupar cada estado de dicha energía. La función de distribución en términos de la temperatura absoluta es:


\begin{displaymath}
f_{MB}(E)=Ae^{\frac{-E}{kt}}
\end{displaymath} (4)

Combinando estas expresiones se obtiene que


\begin{displaymath}
n(E)=Ag(E)e^{\frac{-E}{kt}}
\end{displaymath} (5)

Al aplicar estos resultados a un gas ideal, se considera que el número de moléculas es muy grande, y entonces la distribución de energías puede considerarse contínua. El término $n(E)dE\,\ $ corresponde a las moléculas cuyas energías se encuentren entre $E,$ y $E+dE.$

Para encontrar el factor de peso $g(E)\,$es necesario conocer el número de estados con energías en el intervalo $E$ y $E+dE.\,$Al utilizar el espacio de momentum con $V=4\pi p^2dp,\,$el número de estados de momentum estará dado por


\begin{displaymath}
g(p)dp=Bp^2dp
\end{displaymath} (6)

donde la constante $B$ corresponde a $\frac{4\pi V}{h^3}.\cite[213]{mandl}$

Dado que cada magnitud de momentum corresponde a una energía determinada, el número de estados de energía $g(E)dE$ es el mismo para el número de estados de momentum $g(p)dp,$ lo que permite no utilizar la función de partición


\begin{displaymath}
Z=\int\nolimits_0^\infty \frac{4\pi Vp^2dp}{h^3}e^{-\frac{\beta p^2}{2m}}
\end{displaymath} (7)

para integrar en términos de momentum, sino utilizar la energía, $
\beta $ corresponde al término $\frac 1{kt}$ y $p^2=2mE.\,$Esta función es descrita en el capítulo 3, tal que


\begin{displaymath}
g(E)dE=2m^{\frac 32}B\sqrt{E}dE=8\left( \frac{m^{\frac 32}\pi V}{h^3}\right)
\sqrt{E}dE
\end{displaymath} (8)

El número de moléculas con energías entre $E$ y $E+dE\,$ será: $n(E)dE=C\sqrt{E}e^{-\beta E}dE,\,$para encontrar la constante se utiliza la condición de normalización donde


\begin{displaymath}
N=\int_0^\infty n(E)dE
\end{displaymath} (9)

y representa el número total de moléculas. Entonces


\begin{displaymath}
N=\int_0^\infty n(E)dE=cN=\int_0^\infty \sqrt{E}e^{-\beta E}dE=\frac C2\sqrt{
\pi }(\beta )^{-\frac 32}
\end{displaymath} (10)

despejando $C$ obtenemos


\begin{displaymath}
C=\frac{2\pi N}{(\pi kT)^{3/2}}=2m^{\frac 32}A\left( \frac{4\pi V}{h^3}
\right)
\end{displaymath} (11)

y la distribución molecular de energía queda como:


\begin{displaymath}
n(E)dE=\frac{2\pi N}{(\pi kt)^{\frac 32}}\sqrt{E}e^{-\beta E}dE.
\end{displaymath} (12)

Con estos datos es posible ahora calcular la energía total del sistema y luego encontrar la energía promedio por molécula:


$\displaystyle E$ $\textstyle =$ $\displaystyle \int_0^\infty En(E)dE=$ (13)
  $\textstyle =$ $\displaystyle -\frac{2\pi N}{(\pi kt)^{3/2}}(E)^{3/2}e^{-\beta E}dE$  
$\displaystyle E$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac 32NkT$  

y para calcular la energía promedio en un gas ideal (E/N)


\begin{displaymath}
\bar{E}=\frac 32kT
\end{displaymath} (14)

lo que es independiente de la masa de las moléculas. Esto corresponde solamente a la energía traslacional del estado $s$ de las moléculas.


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Waleska Aldana Segura 2000-11-10