Estadísticas cuánticas

La distribución de Maxwell-Boltzmann funciona bien dentro del rango clásico, para partículas idénticas distinguibles. Sin embargo, algunos casos son mal interpretados utilizando esta estadística, especialmente cuando el número medio de ocupación es muy pequeño comparado con la unidad

$$\overline{n}_r\ll 1$$ (23)

Cuando nos encontramos en el caso donde las partículas son indistinguibles es necesario clasificarlas en dos categorías [4, 307]

• Partículas con spin 0 o entero (bosones), no obedecen el principio de exclusión de Pauli y el intercambio de una partícula con la otra no afecta la función de onda del sistema.( $funci\acute{o}n$ $sim\acute{e}trica$)

• Partículas con spin $\frac 12$ o semientero ($fermiones)$ que obedecen el principio de exclusión de Pauli, solo una partícula puede existir en un estado cuántico en particular. La función de onda del sistema cambia con un intercambio de alguna de las partículas ( $antisim\acute{e}trica$).

Esto se refleja directamente en la probabilidad de encontrar una partícula en un estado dado, como se ve en siguente tabla a continuación   [4, 311]

Table: Estadísticas cuánticas

	Maxwell-Boltzmann	Bose-Einstein	Fermi-Dirac
partículas idénticas	distinguibles	indistinguibles	indistinguibles
principio de Ex. de Pauli	no	no	si
spin	cualquiera	0, o entero	$\frac{1}{2}$ o semientero
funciones de onda	no deben traslaparse	simétricas	antisimétricas
función de distribución	$f_{MB}(\epsilon )=Ae^{-\epsilon /kT}$	$f_{BE}=\frac 1{e^\alpha e^{\epsilon /kT}-1}$	$f_{FD}=\frac 1{e^{(\epsilon -\epsilon _g)/kT}+1}$

Las primeras dos distribuciones no limitan el número de partículas en un estado dado. Sin embargo la tercera distribución limita a una partícula por estado. A altas energías se aproxima la distribución Bose-Einstein a la de Maxwell-Boltzmann. Además, se encuentran más partículas por estado en la distribución de Bose-Einstein que en la de Maxwell-Boltzmann. En la distribución de Fermi-Dirac se encuentra un número menor de partículas a bajas energías por estado. Se aproxima también a la distribución clásica a altas temperaturas. [4, 311] La estadística de Bose-Einstein es descrita con mayor detalle en el capítulo 3.