Simetría de las funciones de onda

Si las partículas de un sistema no interactúan entre si se puede expresar la función de onda como el producto de las funciones de onda individuales

$$\psi (1,2,3....n)=\psi (1)\psi (2)\psi (3)...\psi (n)$$ (24)

Considerando dos partículas en estados $a$ y $b$, cuando las partículas son idénticas la densidad de probabilidad no es afectada por un intercambio en las mismas

$$\left\vert \psi \right\vert ^2(1,2)=\left\vert \psi \right\vert ^2(2,1)$$ (25)

pero existen dos casos para el intercambio de las partículas que satisfacen esta condición. Como las partículas son indistinguibles no es posible conocer la función de onda que describe al sistema, la probabilidad de estar en cada uno es la misma en cualquier momento. Se necesita describir el sistema como una combinación lineal de ambos casos.

Sean

• caso simétrico $\psi (2,1)=\psi (1,2)$
  

  $$\psi _s=\frac 1{\sqrt{2}}\left[ \psi _I+\psi _{II}\right] =\... ...rt{2} }\left[ \psi _a(1)\psi _b(2)+\psi _a(2)\psi _b(1)\right]$$ (26)

  
  

Donde es claro que el factor $\frac 1{\sqrt{2}}$ es necesario para la normalización de las funciones de onda y que

$$\psi _I=\psi _a(1)\psi _b(2)$$ (27)

indicando que la partícula 1 se encuentra en el estado a y partícula 2 se encuentra en el estado b. Al hacer el intercambio de partículas obtenemos $\psi _{II}=\psi _a(2)\psi _b(1).$

Las partículas pueden ocupar el mismo estado simultáneamente, no cumplen con el principio de exclusión de Pauli y sus spins son 0 o enteros (0, $\hbar ,2\hbar ...n\hbar ).$ El número de ocupación no se encuentra restringido ya que pueden ocupar todos los valores enteros $n_r=0,1,2.....n.$

Esta estadísitca se conoce como Bose-Einstein introducido por Bose en 1924 y utilizada por Einstein en la descripción del gas ideal. De allí que a las partículas se denominan $bosones.$ Ejemplo fotones, mesones, pares de electrones de superconductividad, etc.

• caso antisimétrico $\psi (2,1)=-\psi (1,2)$
  

  $$\psi _a=\frac 1{\sqrt{2}}\left[ \psi _I-\psi _{II}\right] =\... ...rt{2} }\left[ \psi _a(1)\psi _b(2)-\psi _a(2)\psi _b(1)\right]$$ (28)

  
  

Las partículas no pueden ocupar el mismo estado cuántico. Para el intercambio de partículas idénticas, $\psi _a=0$ debido al cambio de signo. Su spin es semientero $(\frac 12,\frac 32...\frac{2n+1}2)\hbar ,$ y obedecen al principio de exclusión de Pauli. Los números de ocupación se restringen a $n_r=0,1.$  De allí que esta estadística se denomina Fermi-Dirac, introducida por los mismos en 1926 y las partículas se denominan $fermiones.$  Son ejemplo de fermiones: electrones, protones, neutrinos, quarks, etc.

De lo anterior se infiere que el momento angular intrínseco de una partícula está conectado con el movimiento de la partícula visto desde algún sistema de referencia, la partícula lo posee aunque su centro de masa se encuentre en reposo, por eso se llama spin. De acuerdo con la mecánica cuántica el momentum angular se encuentra cuantizado en múltiplos de $\frac 12\hbar ,$ esto lo restringue a tomar valores de 0, $\frac 12\hbar ,\hbar ,\frac 32\hbar ,2\hbar ,...etc.$

Ejemplos de un condensado son los pares de Cooper en la superconductividad, donde dos electrones se aparean para dar como resultado un boson (pares electrónicos, o pares de Cooper).