Numeración Maya
Un sistema posicional de base 20
Edgar Cifuentes Anléu

Departamento de Física
Universidad de San Carlos de Guatemala
cifuentes@fisica.usac.edu.gt

Enero 2006

  1. La notación posicional del sistema decimal
    1. La suma
      1. Resta
  2. El sistema binario
    1. La suma
      1. Resta
    2. ¿Cómo convertimos decimal a binario?
  3. El sistema maya de numeración
    1. La suma
    2. Transformación de decimal a maya
  4. La numeración en el calendario maya
Resumen:
Se explica el significado de la notación posicional de un sistema numérico, luego se explica el caso del sistema binario incluyendo las conversiones entre sistemas de numeración.
Luego se explica el sistema de numeración maya , incluyendo el caso especial usado en el calentario


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Una descripción del calendario maya
Los Calendarios Maya y Gregoriano

La notación posicional del sistema decimal

El sistema numérico decimal que usamos cotidianamente es posicional y de base 10 eso significa que por ejemplo el número 785 es la abreviación del número

MATHMATHes decir 7 cientos mas 8 decenas mas cinco unidades.

Base 10

Ser de base 10 significa que tenemos 10 símbolos diferentes que podemos colocar en cada posición y éstos son:

MATH



Sistema Posicional

Ser un sistema posicional significa que la posición que los números tienen cuando son escritos es importante siendo las unidades las primeras que aparecen a la derecha, luego las decenas, a continuación las centenas, los millares, etc.

MATH

El número 31,524 tiene 5 cifras y se escribe explícitamente así:

MATHy es equivalente por supuesto a 31,524 en su representación habitual MATHMATH


La suma

Una suma escrita de manera completa se vería asi:MATHMATHen el primer paréntesis (de derecha a izquierda) hemos obtenido 11 que no es ninguno de los símbolos base del sistema decimal; entonces decimos que ponemos 1 y llevamos 1. En la siguiente línea sumamos el que llevabamos a la cifra siguiente MATH

MATH

Resta

La resta es un caso particular de la suma, como puede notarse en el siguiente ejemplo.

Realice la operación $125-37$MATH

MATHMATHAcá hemos usado el algoritmo usual como no podemos restar 7 de 5 y obtener un número positivo entonces tomamos prestada una decena de la cifra anterior y realizamos la operación MATH eso significa que debemos restar uno a la decena que se convierte en $\left( 2-4\right) $

MATHpero como aca de nuevo necesitamos prestar a la cifra superior entonces repetimos el procedimiento, prestando uno a la centena que se queda en cero y las decenas quedan en MATH.MATH



El sistema binario

El sistema numérico mas simple es el sistema binario, su base es 2 y los únicos símbolos que necesitamos son MATH y las posiciones representan potencias de 2 como sigue

MATH

Los números de 1 al 12 se presentan a continuación tanto en el sistema decimal como el binario

MATH

los números del 1 al 5 están expresados en forma completa y luego del 6 al 12 solo en forma parcial.
      Note que en la línea 6 tenemos la suma de 4 (100) mas 2 (10) mas 0 (0) que da como resutlado 6.

Ahora comencemos por desglosar el mayor de estos números como lo hicimos en la ecuación 1

MATHes decir 1100 (binario) es equivalente a 12 (decimal) MATH
      Como un segundo ejemplo veamos el número 111 que según la tabla es equivalente a 7MATH

Los números grandes tienen una enorme cantidad de cifras escribamos por ejemplo 2005

MATH
MATH
MATH
 El sistema binario que alguna vez se pensó que solo era un juego matemático interesante es la base del funcionamiento de los sistemas digitales desde una simple llave electrónica hasta la mas sofisticada computadora.

La suma

Por ejemplo una computadora para sumar $7+3$ sigue la siguiente secuenciaMATH

MATH
 Hemos seguido una táctica semejante a la que usamos en la operación decimal de la ecuación 2. En la tercera línea obtuvimos 2 que no es parte de los símbolos base del sistema binario por lo que escribimos $0$ y llevamos uno. En la cuarta línea agregamos el que llevabamos a la cifra siguiente y obtenemos tres, por lo que ahora escribimos uno y llevamos 1. En la línea siete de nuevo obtenemos dos entonces escribimos cero y agregamos una cifra mas. resumiendoMATH

Resta

La resta también es un caso particular de la sumaMATH

MATH

MATHen notación decimal esMATH


 


¿Cómo convertimos decimal a binario?


Para convertir un numero en sistema decimal a binario procedemos como sigue:

Ejemplo

Convertir 267 a binario. En la siguiente tabla están las sucecivas potencias de 2MATHvemos que $2^{8}>251$ entonces empezamos realizando las operaciones a partir de $2^{7}$, en la tabla adjunta 

MATH

Por supuesto que es mejor pensar que $11111111\sim 255$ es decir uno menos de $100000000\sim 256.$ Ahora si le quitamos 4 a 255 significa quitar el tercer uno, desde la derecha, que como ya sabemos corresponde a 4 de alli $251\sim 11111011.$ Sin embargo hemos usado la forma completa para ejemplificar el procedimiento general.

MATH


El sistema maya de numeración


El sistema maya de numeración usa el 20 en lugar del 10 como base y los 20 símbolos diferentes en cada posición son:

MATH

note que en este caso solo tenemos 3 simbolos MATH pero los símbolos de la base no son estos tres sino los veinte que aparecen en la tabla.

La tabla siguiente presenta los primeros veinte números de la numeración mayaMATH		 Otra diferencia entre el sistema maya y el decimal es que las cifras posicionales no son horizontales sino verticales como puede notarse en 20 y en la siguiente tabla con los números del 21 al 40. Primero en la notación maya original y luego en la notación "moderna" que hemos preferido hacerla posicional horizontal.
MATH

el número MATH es MATH
el número MATH es
 MATH

Ahora un número de 3 cifras

MATH

al sistema decimal


MATH

otro ejemplo ahora de 5 cifras

MATH

MATHMATH


La suma

Para sumar solo sumamos los valores de las cifras correspondienteMATHen notación clásica

MATHen el sistema decimalMATH		 con lo que confirmamos que la operación es correcta.

Otro ejemplo

MATHMATH note que en el pasaje a al ultima línea el 23 se redujo a 3 y le agregamos una unidad a la cifra siguiente y el 26 pasó a 6 agregando una cifra mas; de la misma forma como acostumbramos hacer en la notación decimal.MATHconfirmando en notación decimalMATH


Transformación de decimal a maya

Para transformar un número en sistema decimal a maya procedemos de manera semejante a como lo hicimos en el caso de decimal a binario.

Por ejemplo transformemos el número 12,579 a notación maya.

Primero recordemos a cuanto corresponden las primeras potencias de 20

MATHpor lo tanto es evidente que solo serán necesarias 4 cifras; empecemosMATH		 entoncesMATH

Ahora hagámoslo para el número 1821. Ahora es suficiente con tres cifras para escribir el número y seráMATH

entoncesMATH


La numeración en el calendario maya

La cuenta larga del calendario maya hace una modificación a la regla del uso del 20 como base. Esta modificación se debe a que la duración del año es poco mas de 365 días y 400 es mucho mas grande en tanto que 360 es mucho mas cercano a 365.
MATHPor lo tanto se usaMATHentonces el número 1821 es:MATH		 MATH
Usualmente los números de la cuenta larga son de 5 cifras pues el inicio hipotético del calendario es muy remoto como es el caso de $1846\,512$ que resulta equivalente aMATHentonces

MATH
Para hacer la operación inversa se procede así: Convertir MATH a notación decimalMATHMATH		 los dos días siguientes no son MATH como sería en la notación numérica habitual sino MATH debido a que 360 no lo anotamos como $18\times 20$ en la segunda cifra sino como $1\times 360$ en la tercera cifra. Siendo por supuesto ésta la diferencia entre la notación habitual y la notación calendárica.

El número $1871\,999$ es el número de días transcurridos desde el inicio del calendario maya y corresponde aproximadamente a MATH años.

   Para complementar la información del calendario maya consulte aquí