los números
racionales, 
los números reales, 
ó las
constantes o variables desconocidas
Física para estudiantes de Medicina
I Matemáticas
Edgar Anibal Cifuentes Anléu
Facultad de Ciencias Médicas
Universidad de San Carlos de Guatemala
Enero de 2,006
Contenido
Este es un repaso de algunos temas de matemática para
estudiantes de primer año de medicina. Los temas están
ordenados de acuerdo al actual programa del curso.
Para poder resolver los problemas de física que serán planteados a lo largo de todo el curso, es necesario tener dominio de estos temas de matemática.
Constantes
Las constantes son valores conocidos o desconocidos, como los
números enteros los números
racionales, los números reales, ó las
constantes o variables desconocidas
En este último caso, se acostumbra usar las primeras letras del
alfabeto para representar dichas constantes.
Incognitas
Valores desconocidos que generalmente pueden llegar a conocerse al
resolver una ecuación, usualmente usamos las últimas
letras del alfabeto para representarlas 
La Igualdad
El
signo 
de
igualdad es vital en las operaciones que realizaremos para resolver
ecuaciones. En todas las operaciones debemos estar seguros de que lo
que hay en ambos lados del signo de igualdad sea en efecto la misma
cantidad. Todas la operaciones que no alteren la igualdad son
permitidas por ejemplo la suma de la misma cantidad en ambos lados 
note que 
pero eso
no es importante, lo importante es que de ambos lados del signo de
igualdad hay 9; también podemos restar
también podemos multiplicar
dividir
extraer raíz cuadrada
y elevar a un exponente
hay
otras operaciones que se pueden realizar pero nos detendremos
aquí.
Se
denominan ecuaciones de primer grado con una incognita a
áquellas que tienen la forma general 
donde 
es la incognita, mientras 
y 
son constates, que se presumen
conocidas. Para resolver este tipo de ecuaciones todo lo que tenemos
que hacer es despejar el valor desconocido haciendo uso de todas las
operaciones necesarias que no alteren la igualdad.
Ejemplo 1
Resuelva la siguiente ecuación 
Solución:
esta ecuación tiene una única incognita que es 
cuyo valor puede encontrarse de la siguiente manera: Sumamos 
de cada lado de la ecuación 
y luego restamos 
de ambos lados de la ecuación 
realizando las
operaciones indicadas se reduce a 
por lo tanto el valor
de la incognita resulta ser 
No
es indispensable pero si recomendable comprobar el resultado obtenido
sustituyendo el valor encontrado en la ecuación original 
y
efectivamente se verifica la igualdad.
Recuerde lo importante en todo el proceso es mantener la igualdad.
Ejemplo 2
Encuentre el valor de 
en la ecuaci\on
Solución:
primero realizamos la multiplicación indicada 
y
luego siguiendo los mismos pasos que en el ejemplo anterior se tiene: 
comprobando 
Ejemplo 3
Encuentre el valor de 
de la ecuación 
Solución:
primero simplificamos
este
problema también puede ser resuelto de forma aproximada
así
haremos
la prueba con el primer resultado
y
con el segundo resultado
y podemos confirmar que
cuando conservamos suficientes decimales en la división, de no
hacerlo estos resultados empiezan a diferir.
Ejemplo 4
Encuentre el valor de 
en
Solución:
comprobando
con 2 decimales
y
vemos que los dos números son aproximadamente iguales, pero no
son iguales, sin embargo es solo un error de aproximación como
podemos verificar al tomar mas (3) decimales
si
luego tomamos 4 entonces ya no hay error apreciable 
la
respuesta exacta es 
y con 4 decimales ya no tiene error
apreciable.
Ejemplo 5
Resuelva
Solución: el valor de 
que resuelve el problema es 
, encuéntrelo y
verifíquelo
La forma típica (ya reducida) de las ecuaciones de primer grado con dos incognitas es:
donde 
y 
son constantes que se presumen conocidas y 
y 
son las incognitas, que deben
encontrarse. Para resolver este sistema de ecuaciones el procedimiento
es el siguiente:
Se despeja el valor de una cualquiera de las incognitas de la primera ecuación.
Se sustituye el valor despejado de la primera ecuación en la segunda ecuación.
Al quedar ahora la segunda ecuación sólo en términos de una incognita, se procede a despejar ésta.
Para finalizar se sustituye en la primera ecuación el valor despejado de la segunda y se despeja la incognita restante.
Aplicaremos estos 4 pasos al ejemplo 6 para llegar a la solución.
Ejemplo 6
Encuentre los valores de 
y 
en el siguiente sistema de ecuaciones.
Note que las ecuaciones ya se encuentran en la forma reducida 
Solución
Siguiendo el paso uno despejamos 
de la primera ecuación
ahora en el segundo paso sustituimos el valor de 
en la segunda ecuación
en el tercer paso despejamos la variable 
por último sustituimos el recién encontrado valor
de 
en la primera ecuación para
encontrar el valor de 
y
el problema está resuelto con 
y 
. Aunque el problema aquí está
terminado, vale la pena probar la respuesta, sustituyendo los valores
encontrados de 
y 
con lo que queda
comprobado el resultado en la primera ecuación y 
también
en la segunda. Las dos ecuaciones deben verificar el resultado.
Ejemplo 7
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones 
Solución:
Encontrando 
encontrando 
y finalmente
comprobando
Ejemplo 8
Resolver el sistema de ecuaciones 
Solución:
ahora vamos a resolver el sistema en forma aproximada
sustituyendo en la segunda ecuación
y
regresando a la primera ecuación
comprobando
los valores encontrados son precisos con tres decimales y corresponden
a los valores exactos 
y 
Ejemplo 9
Resolver el sistema
Solución:
en este caso aún no están en su forma reducida
por lo cual primero la escribimos de esa forma
ahora
seguimos los cuatro pasos que hemos usado en los ejemplos anteriores
sustituyendo
en la ecuación 2
y volviendo a la
ecuación 1
confirmando
Ejemplo 10
Resuelva el sistema
Solución:
es 
y 
verifíquelo.
Las ecuaciones de segundo grado con una incognita tienen la siguiente
forma general 
donde 
y 
son constantes que se suponen conocidas
y 
es la incognita que queremos encontrar.
La soluci\on de este tipo de ecuaci\on tiene la forma general 
con la condici\on de que el n\umero 
tenga un
valor positivo, para que la respuesta pueda ser real.
Ejemplo 11
Encuentre el valor de 
en la ecuación 
Solución:
identificando los valores encontramos 
y 
entonces
se sutituyen en la solución general así 
de
tal forma que las dos soluciones finales son aproximadamente 
y
Las
soluciones son aproximadas porque no tomamos todos los decimales. Al
comprobar el resultado se obtiene 
al usar 4 decimales
las respuestas son
entonces
la aproximación es mejor. Si tomaramos todos (algunas veces
infinitos) los decimales entonces la respuesta sería exacta.
Ejemplo 12
Encuentre el valor de 
en la ecuaci\on
Solución:
primero realizamos las operaciones indicadas para llevarla a
la forma standard 
y luego se procede
como en el anterior 
comprobando
Ejemplo 13
Encuentre el valor de 
en la ecuación
Solución:
primero desarrollamos el producto
entonces
usando la ecuación general
en algunos caso como en éste ejemplo es mas fácil resolver el problema igualando a cero los dos factores del la ecuación original pues para que en un producto el resultado sea cero es necesario que uno de los dos factores sea cero.
Así 
despejando 
y usando
el otro factor 
,
despejando de nuevo 
que son
las soluciones ya encontradas.
En
la comprobación vemos con mayor facilidad que es el segundo
método el mas efectivo en este caso
Ejemplo 14
Encuentre el valor de 
de la ecuación
Solución:
es
verifíquelo
Ejemplo 15
Encuentre el valor de 
de la ecuación
Solución:
es 
y 
como puede verificarlo.
Cuando los n\umeros son muy grandes o muy peque\nos resulta m\as conveniente usar la notaci\on en potencias de 10. La estructura de esta notaci\on es muy simple y puede notarse en las siguiente tabla de las potencias de 10 positivas
note
que el exponente es el número de ceros que aparecen a
continuación del 1. Siguiendo esta regla podemos notar que 
es 1 seguido de 12 ceros, es decir, 1,000,000,000,000.
La
estructura de las potencias negativas es la siguiente 
note
que el exponente indica la posición, a continuación del
punto decimal, que ocupa el uno luego de los ceros. Así el
número 
es 
donde el uno aparece en la octava posición después del
punto decimal. Finalmente para ser consistente con esta notación
se define el número 
Los números que no son múltiplos o submultiplos de 10 también pueden ser escritos mediante este sistema como un producto indicado.
existen muchas formas equivalentes de escribir un n\umero en esta
notaci\on, por ejemplo
en
la primera línea aparece el número en forma 
y en la forma standard de la notación en
potencias de 10. La forma standard es un entero, punto, algunos
decimales, el signo de multiplicación y diez elevado a la
potencia indicada, es decir 
A partir
de la segunda línea vemos como se incrementa el valor del
exponente a la derecha del signo de igualdad y como decrece a la
izquierda. De tal forma que notamos que el punto decimal se corre a la
derecha cuando decrece el exponente y a la izquierda cuando aumenta.
Sumas y restas
Las sumas y las restas entre números escritos en potencias de 10
son sencillas sólo en el caso de que el exponente sea el mismo. 
hemos
factorizado 
Ejemplo 16
Haga la suma 
Solución:
cuando
los exponentes no son iguales, entonces, primero se igualan y luego se
opera.
Ejemplo 17
Hága la suma 
Ejemplo
18
Hága la suma
Ejemplo
19
Hága la suma 
Ejemplo
20
Hága la suma 
en
este caso vemos que para tomar en cuenta el primer término de la
suma es necesario conservar al menos 10 decimales, que no es lo usual,
de tal forma que en la suma podemos despreciar ese primer
término.
Productos y cocientes
Para realizar los productos y los cocientes se aprovecha la propiedad
conmutativa de los números. 
Ejemplo 21
Hága la multiplicación
Ejemplo
22
Hága la multiplicación 
Ejemplo 23
Efectue la división.
el
problema 23 al igual que los anteriores de notación en base 10
pueden ser resueltos en forma directa usando una calculadora
típica Note_1
Potencias y raíces
Para elevar un número en notación de potencia de 10 a una
potencia se eleva por separado el coeficiente y el 
por separado y luego se escribe en la forma estándar.
Ejemplo 24
Eleve el número 
a la
potencia 4. 
Usando una calculadora típica 
Ejemplo 25
Eleve el número 
a la
potencia 
Usando una calculadora típica 
y
para obtener raíces debemos recordar que una raíz
cuadrada es 
, una
raíz cúbica es 
, una
raíz cuarta es 
, etc.
Ejemplo 26
Obtenga la raíz cuadrada del número 
Usando una calculadora típica 
o de la forma
alterna
Ejemplo 27
Obtenga la raíz cúbica del número 
resolviendo con calculadora
Nomenclatura:
Los lados de un triángulo se denominan catetos e
hipotenusa. De los tres ángulos de un triángulo uno de
ellos es simpre recto, es decir tiene 
y al lado que queda de frente a él se le
denomina hipotenusa. Los catetos
por lo tanto son los adyacentes al ánguloº recto.
La
figura 1 muestra un triángulo rectangulo típico.
hipotenusa,
y 
catetos, 
y 
ángulos
no rectos y 
ángulo recto. Generalmente los lados se denotan por letras
latinas y los ángulos por letras griegas.
Teorema
de Pitágoras El cuadrado de la hipotenusa es igual a la
suma de los cuadrados de los catetos 
Teorema 1 La
suma de los ángulos internos de un triángulo plano es
igual a 
Funciones
trigonométricas
Las funciones trigonométricas son: 
Una función
relaciona un conjunto de números con otro. Así la
función seno relaciona los ángulos entre 
y 
con los
números entre 0 y 1, 
he
aquí algunos ejemplos 
Las funciones Coseno
y Tangente también hacen una tarea semejante.
Las funciones invers
| Seno | Arcoseno = Seno inverso  |
| Coseno | Arcoseno = Coseno inverso  |
| Tangente | Arcotangente = Tangente inversa  |
estas 3 nuevas funciones hacen el camino de regreso, es decir asocian un ángulo a un número permitido por su rango
al
usar una calculadora con cuatro decimales no se obtienen los valores de
la tabla anterior sino
eso se debe por
supuesto a errores de aproximación porque el valor de 
tiene infinitos decimales; siendo los primeros de ellos
ahora
usaremos los teoremas y las definiciones de las funciones y las
funciones inversas para resolver problemas de triángulos
rectángulos.
Ejemplo
28
Verifíque los teoremas de Pitágoras y Uno para el triángulo de la figura 2,
el
teorema de Pitágoras es 
y
el teorema de los ángulos internos 
además 
Resolver un
triángulo significa, encontrar los valores desconocidos a partir
de los conocidos, como en el siguiente
Ejemplo 29
Resolver el triángulo de la figura 3.
De
la figura notamos que 
y hemos encontrado
la hipotenusa 
y para finalizar
encontramos el otro ángulo 
comprobando el
teorema de los ángulos 
y el teorema de
Pitágoras 
al igual que en
otras operaciones aproximadas al no tomar todos los números
decimales en cuenta obtenemos un valor muy cercano al exacto.
Ejemplo
30
Resolver el triángulo de la figura 4.
de la figura 4 notamos que
y
tenemos 
luego
para obtener 
y finalmente 
El
logaritmo de base 10 es la función inversa de 10 elevado a una
potencia determinada, es decir: 
esto puede ser
comprobado con facilidad tomando algunos números arbitrarios.
Sea 
y 
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
notamos que:
como puede verificarlo con una calculadora
y
ahora
resolveremos problemas que involucran logaritmos.
Ejemplo 31
¿Cúal es el valor de 
en la ecuación 
,
Solution is: 
usando la calculadora
Ejemplo 32
¿Cúal es el valor de 
en la ecuación 
Ejemplo 33
¿Cúal es el valor de 
en la ecuación 
El
número 
es un número con infinitos
decimales
aunque por lo regular no usamos solo unos cuantos.
El
logaritmo de base 
es la función inversa de 
elevado a una potencia determinada, es decir: 
esto puede ser
comprobado con facilidad tomando algunos números arbitrarios.
Sea 
y 
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
al
igual que en los logaritmos de base 10 se verifica
puede
verificar para cualquier número mediante el uso de su
calculadora usando 
y
Ejemplo 34
¿Cúal es el valor de 
en la ecuación 
Ejemplo 35
¿Cúal es el valor de 
en la ecuación 
Ejemplo 36
¿Cúanto vale 
en la ecuación 
?
Figuras Planas
Las figuras planas que usaremos mas corrientemente son:
| Area | Perímetro | |
| Cuadrado |  |
 |
| Círculo |  |
 |
| Triángulo |  |
 |
| Rectángulo |  |
 |
dónde 
es el lado del cuadrado, 
es el radio del círculo, 
es la altura del triángulo, 
es la base del tríangulo, 
son los
lados del tríangulo y 
son los
lados mayor y menor del rectángulo.
cuadrado
círculo
rectángulo
triángulo
Ejemplo 37
¿Cúal es el área y el perímetro
correspondiente a un cuadrado de 
de lado?
El área es:
y
el perímetro es:
ahora
podemos resolver algunos problemas de geometría
Ejemplo 38
Si
el radio de una circunferencia es 
¿Cuáles serán su perímetro y su área?
Ejemplo 39
Si
el área de un cuadrado es 
¿Cúanto vale su radio y su perímetro?
Ejemplo 40
¿Tiene mayor área 
un
círculo de 
de radio
o un cuadrado 
de 
de lado?
entonces
dado que 
se
concluye que tiene mayor área el círculo.
Ejemplo 41
Encuentre el área y el perímetro del triángulo del
ejemplo 28
Ejemplo 42
Un
cuadrado tiene un área de 
¿cuánto es la longitud de una línea trazada desde
un ángulo cualquiera hasta el ángulo opuesto.
Primero encontramos la longitud del lado
ahora notamos que al
trazar la línea formamos dos triángulos iguales cuyos
catetos son precisamente sus lados, entonces encontramos la hipotenusa
mediante el Teorema de Pitágoras
Ejemplo 43
Un
rectángulo tiene un lado igual a 
y el otro igual a 
¿Cúanto es su perímetro y su área?
Ejemplo 44
Si
el área de un rectángulo es igual 
y uno de sus lados es 30% mas grande que el otro
¿Cúanto vale cada uno de sus lados y su perímetro?
Ejemplo 45
Una circunferencia de cartón tiene un diámetro de 12.7 centímetros y en su centro tiene un agujero de 8.4 centímetros de diámetro. ¿Cúal es el área del agujero? ¿Cúal es el área de la superficie de cartón?
Primero encontramos el área del agujero 
el área de la
superficie total, sin agujero, de cartón es
si
ahora restamos el área del agujero queda el área real
Ejemplo 46
Un
triángulo rectángulo tiene un cateto igual a 
y el otro igual a 
¿Cúal es su perímetro y
cúal es su área?
Primero encontramos la hipotenusa
entonces el
perímetro es: 
y el área
Ejemplo 47
Un
triángulo isóceles es aquel que tiene sus tres lados
iguales. Encuentre el área y el perímetro de un
triángulo isóceles de 12 centímetros de lado.
dado
que sus lados son iguales, también lo seran sus angulos de tal
forma que cada ángulo mide
partimos por la
mitad la base para llegar al vértice superior y eso nos deja dos
triángulos iguales y nos permite calcular la altura. Note que el
cateto inferior tendrá una longitud igual a la mitad de cada
lado, es decir 
entonces
Ejemplo
48
Un
triángulo tiene una altura de 
y una
base de 
y uno de
los ángulos de la base es 
¿Cuánto
vale su área y su perímetro?¿Cúanto valen
sus otros dos ángulos 
y 
?
la base representa
uno de los lados, para poder encontrar los otros dos lados debemos usar
trigonometría, primero encontramos 
luego
encontramos 
entonces el
perímetro es
ahora encontraremos
los ángulos 