Sistemas uniformemente acelerados

La relatividad especial se puede utilizar para describir los eventos tal como son vistos por un observador en un marco de referencia acelerado. Para este propósito se considera que el sistema $S$ se mueve con una partícula de masa $m_0$ a lo largo del eje $x$ positivo del sistema $%% S^{\prime }$. La partícula se somete a una fuerza $F=m_0g$ en dirección del eje $x$. La ecuación de movimiento para dicha partícula será

$$\frac{dp_{x^{\prime }}}{dt^{\prime }} = m_0g$$

$$\frac d{d\tau ^{\prime }}\left( \gamma m_0\beta \right) = m_0\frac g{c^2}$$ (2.1)

$$d\left( \gamma \beta \right) = \frac g{c^2}d\tau ^{\prime }$$

en donde $\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$, $\tau ^{\prime }=ct^{\prime }$ y $%% \beta =v/c$ corresponde a la velocidad instantánea entre $S$ y $%% S^{\prime }$. La última de las ecs. 2.1 se puede integrar directamente. En el primer miembro la variable es la velocidad $\beta ,$ la cual se valúa desde cero hasta un valor $\beta .$ En el segundo miembro la variable $\tau ^{\prime }$ se valúa, de igual manera, desde cero a un tiempo $\tau ^{\prime }.$ Con esto se llega a que^2.1

$$\gamma \beta = \frac g{c^2}\tau ^{\prime }$$

$$\frac \beta {\sqrt{1-\beta ^2}} = \frac g{c^2}\tau ^{\prime }$$

$$\beta = \frac{\kappa \tau ^{\prime }}{\sqrt{\left( \kappa \tau ^{\prime }\right) ^2+1}}$$ (2.2)

Sustituyendo $\beta =dx^{\prime }/d\tau ^{\prime }$ en la ecuación anterior e integrando sobre $x^{\prime }$ desde una posición $%% x_0^{\prime }$ hasta $x^{\prime }$ y sobre el tiempo desde cero hasta $\tau ^{\prime }$ se obtiene

$$\kappa x^{\prime }-\kappa x_0^{\prime }=\sqrt{1+\left( \kappa \tau ^{\prime }\right) ^2}-1$$ (2.3)

lo cual se puede escribir como

$$\kappa x^{\prime }=\sqrt{1+\left( \kappa \tau ^{\prime }\right) ^2}+\kappa x_P^{\prime }$$ (2.4)

donde $\kappa x_P^{\prime }=\kappa x_0^{\prime }-1$ y $\kappa =g/c^2$. La ecuación anterior expresa la posición de la partícula como función del tiempo en el sistema $S^{\prime }$. De las ecs. 2.1 y 2.4 se puede deducir que las ecuaciones de transformación entre un sistema acelerado y un sistema inercial son

$$x^{\prime } = -\frac 1\kappa +\left( x+\frac 1\kappa \right) \cosh {\kappa \tau }$$

$$\tau ^{\prime } = \left( x+1/\kappa \right) \sinh {\kappa \tau }$$ (2.5)

De estas ecuaciones se puede obtener el tensor métrico para el sistema acelerado, el cual es

$$g_{\mu \nu }=\left( \begin{array}{cc} -\left( 1+\kappa x\right) ^{2} & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$$ (2.6)

con esto, la métrica se escribe de la forma

$$ds^{2}=-\left( 1+\kappa x\right) ^{2}d\tau ^{2}+dx^{2}$$ (2.7)

Es importante observar algunos hechos implícitos en esta métrica. Por ejemplo, si $ds^2=0$ se tiene que

$$dx^2 = \left( 1+\kappa x\right) ^2d\tau ^2$$

$$\beta = 1+\kappa x$$ (2.8)

es decir, que la velocidad de la luz depende ahora de la posición. Es más, cuando $x=-1/\kappa ,$ se tiene que $\beta =0.$ El evento en $%% x=-1/\kappa$ nunca será observado porque la luz nunca escapa de allí, justo como en la superficie de un agujero negro. Estos hechos parecen contradecir los principios de la relatividad especial pero en realidad no es así, puesto que estos principios se aplican a observadores en marcos de refencia inercial. Las consecuencias de la ec. 2.8 serán verificadas para un observador en un marco acelerado, para el cuál, los principios de la relatividad especial ya no son válidos.[3]