Identidades de Bianchi

El principio, Einstein supuso que el tensor de Ricci se debía igualar al tensor de materia; de esta manera la materia sería la fuente de la gravedad. Esto no funcionó ya que la divergencia del tensor de materia se hace cero y la del tensor de Ricci no siempre lo es. Para encontrar un tensor que cumpliera con la condición anterior se recurre a las identidades de Bianchi, que son satisfechas por la derivada covariante del tensor de curvatura

$$R_{\mu \nu \rho \sigma ;\tau }+R_{\mu \nu \sigma \tau ;\rho }+R_{\mu \nu \tau \rho ;\sigma }=0$$ (2.32)

Estas identidades forman un conjunto de 1024 ecuaciones de la cuales la mayoría no dice nada. Esencialmente son 24 identidades que no son triviales. Multiplicando la ec. 2.32 por $g^{\mu \rho }g^{\nu \sigma }$ y usando la difinición del tensor de Ricci y de escalar de curvatura, junto con las propiedades de simetría del tensor de Riemann se llega a que [6]

$$R_{;\tau }-R_{\tau ;\mu }^\mu -R_{\tau ;\nu }^\nu = 0$$

$$\left( Rg_\tau ^\nu -2R_\tau ^\nu \right) _{;\nu } = 0$$ (2.33)

lo cual define el tensor de Einstein $G^{\mu \nu }=R^{\mu \nu }-\frac 12g^{\mu \nu }R.$ Por igualdad, este tensor satisface la condición de divergencia $G_{;\nu }^{\mu \nu }=0.$