Ecuaciones de Einstein

Antes de hallar las ecuaciones de movimiento para los campos con el método variacional, es conveniente saber qué es lo que resulta al hacer los cálculos con la ecuación de campo de Einstein. A continuación se presentan las ecuaciones de campo para las variables del sistema $U,$ $V,$ $M,$ $\rho ,$ $u_3$ y $u_0$ calculadas directamente de las ecuaciones de Einstein $G_{\nu }^{\mu }=8\pi G\,T_{\nu}^{\mu }.$ ^4.1

$$G_0^0 = \frac{e^M}4\left( 2\dot{M}\dot{U}+2M^{\prime }U^{\prime }+(\dot{U}%% )^2+4U^{\prime \prime }-3(U^{\prime })^2-(\dot{V})^2-(V^{\prime })^2\right)$$

$$= 8\pi G\,\rho \left( (\epsilon +1)u^0u_0+\epsilon \right) =8\pi G\,T_0^0$$ (4.33)

$$G_1^1 = \frac{e^M}4\left( -2\ddot{M}+2M^{\prime \prime }-2\ddot{U}+(\dot{... ...V}+2U^{\prime \prime }-(U^{\prime })^2-2U^{\prime }V^{\prime }-2\ddot{V}\right.$$

$$\left. +(\dot{V})^2+2V^{\prime \prime }-(V^{\prime })^2\right)$$

$$= 8\pi G\,\epsilon \rho =8\pi G\,T_1^1$$ (4.34)

$$G_2^2 = \frac{e^M}4\left( -2\ddot{M}+2M^{\prime \prime }-2\ddot{U}+(\dot{... ...V}+2U^{\prime \prime }-(U^{\prime })^2+2U^{\prime }V^{\prime }+2\ddot{V}\right.$$

$$\left. +(\dot{V})^2-2V^{\prime \prime }-(V^{\prime })^2\right)$$

$$= 8\pi G\,\epsilon \rho =8\pi G\,T_2^2$$ (4.35)

$$G_3^3 = \frac{e^M}4\left( -2\dot{M}\dot{U}-2M^{\prime }U^{\prime }+3(\dot{U}%% )^2-4\ddot{U}-(U^{\prime })^2+(\dot{V})^2+(V^{\prime })^2\right)$$

$$= 8\pi G\,\rho \left( (\epsilon +1)u^3u_3+\epsilon \right) =8\pi G\,T_3^3$$ (4.36)

$$G_3^0 = \frac{e^M}2\left( -\dot{M}U^{\prime }-M^{\prime }\dot{U}-2\dot{U}%% ^{\prime }+\dot{U}U^{\prime }+\dot{V}V^{\prime }\right)$$

$$= -8\pi G\,u^0u_3(\epsilon +1)\rho =8\pi G\,T_3^0$$ (4.37)

En lo que sigue se estará usando unidades geometrizadas para la velocidad de la luz y constante de Newton de la gravitación, es decir se elige $c=G=1$, con lo cual se deberá tener cuidado al querer evaluar una variable para obtener un resultado númerico.