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Lagrangiano de la materia

En esta parte se obtendrá la contribución a la densidad lagrangiana cuando se tiene una fuente. Para resolver el conjunto de ecuaciones diferenciales parciales 3.32, 3.33, 3.34, con el fin de obtener la densidad lagrangiana de materia, se considera un tensor de energía-momentum para un fluido perfecto [10]

$$T_{\mu \nu }(x^{\alpha })=(\rho +p)u_{\mu }(x^{\alpha})u_{\nu }(x^{\alpha })+pg_{\mu \nu }$$ (4.17)

donde $\rho (x^{\alpha })$ y $p(x^{\alpha })$ son la densidad de materia y la presión de la misma, respectivamente. Ambas cantidades son dependientes de las coordenadas. En esta ecuación, $%%u_{\nu }$ es la velocidad del fluido, la cual cumple con la condición

$$u_{\nu }u^{\nu }=-1$$ (4.18)

En este trabajo se considerará que la velocidad del fluido tiene únicamente dos componentes, que son, $u_{\nu }=(u_0,0,0,u_3)$. Partiendo de la ec. 4.18 se puede despejar una de ellas en función de la otra, para lo cual se tiene que

$$g^{\mu \nu }\,u_{\mu }u_{\nu } = -1$$

$$g^{00}\,u_0^2+2g^{0i}u_0u_m+g^{km}u_ku_m-1 = 0$$ (4.19)

De esta ecuación se puede encontrar $u_0$ en función de $u_3$, siendo la expresión general

$$u_0=\frac{-2g^{0m}u_m\pm \left[ \left( 2g^{0m}u_m\right) ^2......0}\left(1+g^{km}u_ku_m\right) \right] ^{\frac 12}}{2g^{00}}$$ (4.20)

y usando las expresiones para la métrica ADM dadas por la ec. 3.14 se obtiene

$$u_0=N^mu_m\pm \left\{ \left( N^mu_m\right) ^2+N^2\left[ 1+\......frac{N^k\,N^m}{N^2}\right) u_ku_m\right] \right\} ^{\frac 12}$$ (4.21)

en nuestro caso, $u_m$ significará sólo la componente 3 de la velocidad, es decir $u_m=u_3$. Al resolver la ec. 3.34, se elige la norma para las funciones como $%%N^m=0$, con lo cual la ecuación anterior se reduce a $u_0=\pm N\left(1+g^{km}u_k\,u_m\right) ^{\frac 12}$. Además, la velocidad contravariante se obtiene de la manera usual, subiendo el índice con la métrica contravariante $g^{km}$, es decir, $u^0=g^{00}\,u_0$, obteniendo que

$$N\,u^0=\left( 1+g^{km}\,u_k\,u_m\right) ^{\frac 12}$$ (4.22)

asimismo, el determinante viene dado por $\sqrt{-^{(4)}g}=N\sqrt{^{(3)}g}$. Se considera también que la ecuación de estado del fluido de materia sea tipo barotrópica, en la cual se cumple que $p=\epsilon \rho$, donde $\epsilon$ es una constante. Escribiendo explícitamente la ec. 3.34 se tiene lo siguiente

$$\mathcal{L}_{mat} = -8\pi \int \sqrt{-^{(4)}g}T_{km}d\,g^{km}$$

$$= -8\pi \int N\sqrt{^{(3)}g}\rho \left[ (\epsilon +1)u_{k}\,u_{m}+\epsilon\,g_{km}\right] d\,g^{km}$$ (4.23)

Haciendo el cambio de variable $\tilde{\rho}\equiv Nu^{0}\rho \sqrt{^{(3)}g}$ y utilizando la ec. 4.22 el primer término del integrando queda de la siguiente manera

$$-8\pi (\epsilon +1)N\tilde{\rho}\int \frac{u_{k}\,u_{m}}{\left(1+g^{km}\,u_{k}\,u_{m}\right) ^{\frac{1}{2}}}\,dg^{km}$$ (4.24)

Con el cambio de variable $\chi =\left( 1+g^{km}\,u_{k}\,u_{m}\right) ^{%%\frac{1}{2}}$, se observa que $d\chi =\frac{1}{2}\frac{u_{k}\,u_{m}dg^{km}}{%%\left( {1+g}^{km}u_{k}u_{m}\right) ^{\frac{1}{2}}}$, con lo cual esta primera integral es

$$-16\pi (\epsilon +1)N\tilde{\rho}\left( 1+g^{km}\,u_{k}\,u_{m}\right) ^{%%\frac{1}{2}}$$ (4.25)

Para el segundo integrando de la ec. 4.23, se hace uso del hecho de que la variación de un determinante con respecto a su métrica covariante cumple con la relación $\frac{\delta g}{\delta g_{km}}=g\,g^{km}$. De esto se ve que la variación $\delta \sqrt{g}=-\frac{1}{2}\sqrt{g}%%g_{km}\delta g^{km}$, de aquí se observa que el segundo integrando es el diferencial de la raíz cuadrada del determinante de la trimétrica. Con esto se llega a que el segundo término es

$$16\pi \epsilon N\rho \sqrt{^{(3)}g}$$ (4.26)

De este modo, tomando las ecs. 4.25 y 4.26, la dependencia de la densidad lagrangiana de materia con respecto a la trimétrica viene a ser

$$\mathcal{L}_{mat}=-16\pi N\tilde{\rho}\left[ (\epsilon +1)\......\left(1+g^{km}\,u_{k}\,u_{m}\right) ^{-\frac{1}{2}}\right]$$ (4.27)

Para el término de la variación de $\mathcal{L}_{mat}$ con respecto a $N$, se parte de la ec. 3.32, con la misma norma $N^{m}=0$, con esto se tiene que

$$\frac{1}{2}N^{3}\frac{\partial \mathcal{L}_{mat}}{\partial ......t{^{(3)}g}\left[ (\epsilon +1)u_{0}^{2}-N^{2}\epsilon \right]$$ (4.28)

usando de nuevo el cambio de variable $\tilde{\rho}$, se llega de nuevo a la ec. 4.27, por lo cual la variación con respecto a $N$ no da nuevos elementos a la densidad lagrangiana. Para la variación de $N^{m}$ se toma la ecuación

$$\frac{1}{2}N^{2}\frac{\partial \mathcal{L}_{mat}}{\partial ...... (\epsilon+1)u_{k}u_{m}+\epsilon g_{km}\right] N^{k}\right]$$ (4.29)

que se obtiene de combinar la ec. 3.34 en la ec. 3.33. Al integrar esta última ecuación, únicamente se dejan términos lineales en $N^{m}$, los términos cuadráticos o de otro orden son despreciados. La contribución a la densidad lagrangiana proveniente de la variación de los $N^{m}$ queda de la siguiente forma

$$16\pi \tilde{\rho}(\epsilon +1)u_{m}N^{m}$$ (4.30)

Finalmente, la densidad lagrangiana de la materia a considerar en este problema tiene la siguiente forma

$$\mathcal{L}_{mat} = -16\pi N\tilde{\rho}\left[ (\epsilon +1)\left(1+g^{km}\,u_{k}\,u......rac{1}{2}}-\epsilon \left(1+g^{km}\,u_{k}\,u_{m}\right) ^{-\frac{1}{2}}\right]$$

$$+16\pi \tilde{\rho}(\epsilon +1)u_{m}N^{m}$$ (4.31)

Uniendo el resultado obtenido anteriormente con aquel de la ec. , se llega a que la densidad lagrangiana total para este problema es

$$\mathcal{L}_{total} = \pi _{U}\dot{U}+\pi _{V}\dot{V}+\pi _{M}\dot{M}%%+Ne^{M/2}\left...... \prime }+2U^{\prime }M^{\prime }-\left( V^{\prime }\right)^{2}\right] \right.$$

$$\left. +e^{U}\left( \pi _{U}\pi _{M}-\frac{1}{2}\pi _{V}^{2}-\fra......(\epsilon +1)\left(1+g^{km}\,u_{k}\,u_{m}\right) ^{\frac{1}{2}}\right. \right.$$

$$\left. \left. -\epsilon \left( 1+g^{km}\,u_{k}\,u_{m}\right) ^{-\......M}^{\prime }+U^{\prime }\pi_{U}+V^{\prime }\pi _{v}+M^{\prime }\pi _{M}\right.$$

$$\left. +16\pi \tilde{\rho}(\epsilon +1)u_{3}\right)$$ (4.32)