INTRODUCCIÓN

El presente trabajo es una investigación realizada en la rama de la teoría general de la relatividad. Dicho trabajo fue realizado en el Instituto de Física de la Universidad de Guanajuato, México, con la asesoría del Dr. José Socorro García Díaz. El propósito de esta investigación es presentar una manera sistemática de calcular una función lagrangiana para el campo gravitacional tomando en cuenta la fuente del mismo, es decir, en presencia de materia. Partiendo de este lagrangiano se pueden calcular las ecuaciones clásicas de campo, las cuales contienen la información acerca del comportamiento del campo gravitacional. Debido a la no linealidad de las ecuaciones de Einstein, en algunos casos este comportamiento sólo puede ser hallado de manera aproximada. Haciendo una analogía con los sistemas mecánicos, es posible aplicar las ideas de cuantización canónica al hamiltoniano del sistema, calculado a partir del lagrangiano. De esta manera la gravedad puede ser cuantizada en ciertos modelos matemáticos. El trabajo se compone esencialmente de cuatro capítulos. En el primero de ellos se hace una presentación de las ideas que condujeron a la creación de la teoría especial de la relatividad. Asimismo, se presentan los conceptos más importantes de dicha teoría. En el segundo capítulo se expone la incompatibilidad de la teoría de la relatividad especial y la relatividad general, haciendo ver que la descripción de la gravedad no puede lograrse en un espacio-tiempo plano. En el resto del capítulo se tratan los conceptos matemáticos que hacen posible describir la curvatura del espacio-tiempo. Se finaliza con la relación que existe entre la materia y la curvatura del espacio, dada por la ecuación de campo de Einstein, $R_{\mu \nu }-\frac 12Rg_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }$. El tercer capítulo comienza con una introducción al formalismo ADM. Posteriormente, se presenta el procedimiento matemático mediante el cual se originan las variables ADM, la construcción del lagrangiano en función de estas variables y la obtención del hamiltoniano a partir del lagrangiano. Se concluye con la manera de obtener la parte del lagrangiano que resulta de considerar una distribución de materia y energía en el espacio. En el cuarto capítulo se aplican los conceptos generales desarrollados anteriormente para calcular el lagrangiano a partir de una métrica dada, considerando la existencia de un fluido perfecto de materia. Se calculan las ecuaciones de movimiento a partir del lagrangiano. Independientemente, estas ecuaciones también son calculadas mediante la ecuación de campo de Einstein. Se llega al resultado de que ambos métodos dan las mismas ecuaciones. Por último, se presenta la solución de dichas ecuaciones de la forma más general que se pudo hallar y para un caso simplicado del modelo original. La solución a las ecuaciones no es completa. Esto es debido a la complejidad de las mismas, pues se trata de un sistema de ecuaciones diferenciales parciales, no lineales y no homogéneas. Estos sistemas de ecuaciones difícilmente aceptan una solución general. Por lo que se hizo una simplificación al modelo original con lo cual se encontró una solución a las ecuaciones. Finalmente, se incluye un apéndice acerca del cálculo del escalar de curvatura $R,$ utilizando la métrica propuesta en el capítulo cuatro. Dicha cantidad aparece en la ecuación de campo de Einstein. En varias ocasiones fue necesario usar códigos simbólicos de las ecuaciones de la relatividad general para comparar los resultados obtenidos. Esto se hizo esencialmente con programas realizados en REDUCE 3.6, otros en MATHEMATICA 3.0 y algunos más con MAPLE 5.1.