Resolución y eficiencia

La resolución de un detector indica qué tan preciso puede ser para diferenciar rayos $\gamma$ de diferente energía. Cuando en la cercanía del detector hay un elemento radiactivo emitiendo rayos $\gamma$ de una energía dada, estos aparecerán en el espectro como un ``pico'' de conteos alrededor de la energía correspondiente al rayo $\gamma$. Estos picos aparecen en el espectro como una distribución de frecuencia alrededor de un valor máximo que corresponde a la energía del rayo $\gamma$ y no como una línea debido al ruido electrónico introducido por perturbaciones en el detector, cables, amplificadores, multicanal, etc. Dichos picos pueden ser ajustados a una distribución de probabilidad y la que más se apega a este tipo de fenómeno es la distribución de Lorentz que es de la forma:

$$y(E)=A_p { {\Gamma / 2\pi} \over{\left( E - \mu \right)^2 + \left(\Gamma / 2\right)^2 }}$$

donde: $A_p$ es el área bajo el pico; $\mu$ es la media o energía central del pico; $\Gamma$ es el FWHM (Full Width at Half Maximun) ancho del pico a la mitad de la altura; $E$ es la energía. No se puede especificar una resolución absoluta del detector debido a que ésta depende de la energía donde se encuentre el pico utilizado para medirla. Generalmente, se toma el valor del FWHM como la resolución del detector para un pico dado a cierta energía. Para calcular la resolución de un pico en el espectro del detector no se debe ajustar solamente la función de Lorentz, ya mencionada, debido a que el espectro contiene también un “fondo” que se asume es contínuo y puede ser ajustado con un polinomio de grado 3. Entonces la función que debe ajustarse al pico es:

$$y(E)=a_0 + a_1 E + a_2 E^2 + a_3 E^3 +A_p {{\Gamma / 2\pi}\over{\left( E - \mu \right)^2 + \left(\Gamma / 2\right)^2 }}$$

Esta función debe ser ajustada por métodos de correlación no lineal para obtener las constantes $\Gamma$, $\mu$, $A_p$, etc (Bevinton, 1992.168). Cuando una fuente radiactiva se encuentra en los alrededores del detector, éste solo capta la fracción de rayos $\gamma$ que incide sobre él, por lo que si se desea saber la actividad total de la fuente se debe calcular que fracción de todos los rayos $\gamma$ emitidos pueden ser capturados por el detector. Además de saber la fracción de rayos $\gamma$ que inciden sobre el detector se debe identificar la fracción de rayos $\gamma$ que el detector puede capturar sobre el total de rayos que inciden. Esta fracción depende de la energía de los rayos, ya que, rayos con mayor energía serán más difíciles de capturar pues hay menos electrones que pueden oscilar a altas frecuencias y absorber la energía del rayo. Entonces la eficiencia del detector debe calcularse por parámetros geométricos y de energía. Existen varias definiciones para catalogar la eficiencia de un detector, entre ellas: eficiencia absoluta, eficiencia relativa y eficiencia de pico. La eficiencia absoluta se define como el número de rayos $\gamma$ capturados sobre el número total de rayos emitidos por la fuente

$$\epsilon_a = {1 \over {{\cal A}t}}\int_{e_0}^{\infty}{{dn}\over{de}}dE$$

donde $\cal A$ es la actividad de la fuente y $t$ es el tiempo vivo de medición. Para fines prácticos esta expresión se puede reducir a $\epsilon_a=N_c / {\cal A}t$ donde $N_c$ es el número total de conteos en el espectro. La eficiencia relativa se define como el número de rayos $\gamma$ capturados sobre el número total de rayos que inciden sobre el detector.

$$\epsilon_r = {1 \over {N_c^\prime}} \int_{e_0}^{\infty}{{dn}\over{de}}dE$$

donde $N_c^\prime$ se debe calcular a partir de la geometría del experimento. También para fines prácticos la eficiencia relativa se reduce a $\epsilon_r=N_c/N_c^\prime$. La eficiencia de pico se define como el área bajo un pico dado en el espectro sobre el número total de rayos que inciden sobre el detector que producen dicho pico

$$\epsilon_p = {1 \over {N_c^\prime P_p}}\int_{e_a}^{e_b}{{dn}\over{de}}dE$$

donde $P_p$ es la probabilidad de que se emita un rayo $\gamma$ de energía $\epsilon$ que produce el pico en el espectro. La eficiencia de pico puede escribirse de la forma

$$\epsilon_p = {A_p/t \over {\cal A}P_pG}$$

donde $G$ es un factor geométrico. En el caso de fuentes puntuales $G$ se reduce a $\Omega/4\pi$ donde $\Omega$ es el ángulo sólido subtendido entre la fuente y el detector. Para configuraciones experimentales mas complicadas $G$ se torna muy difícil de calcular por lo que es mejor utilizar la cantidad $G\epsilon_p$, y esto determina la eficiencia del detector para todas las configuraciones donde $G$ sea el mismo (Mowatt, 1969). Como ya se mencionó la eficiencia del detector también depende de la energía del rayo $\gamma$ y por ello se debe ajustar una curva de eficiencia contra energía que tiene la forma:

$$\epsilon_p= \left({{a_1}\over{E}}\right)^{a_2} + a_3 e^{-a_4 E} + a_5 e^{-a_6 E}+ a_6 e^{-a_8 E}$$

donde $E$ es la energía (McNelles, 1973).