Descripción del condensado

En esta descripción se utilizan los conceptos del capítulo 3 y 4. Este fenómeno ocurre en gases atrapados magnéticamente. En gases homogeneos las interacciones entre átomos juegan un papel significativo impidiendo la formación de condensados. Interacciones entre bosones ultraenfriados son descritas en términos del parámetro $a$ cuya magnitud indica qué tan fuerte son las interacciones y el signo determina si son de atracción $\left( a>0\right)$ o repulsión $(a<0)$

. Este parámetro recibe el nombre de longitud de dispersión de onda $s$.

Debido a que la condensación exige que las densidades de átomos sean muy pequeñas (para $^7Li$ por ejemplo del orden de 1400 átomos en la trampa) las interacciones son principalmente entre dos átomos, las interacciones entre más átomos se desprecian y esto implica que la densidad $n$ cumpla con:

$$na^3\ll 1$$ (129)

además $n(r)=N_o\left\vert \psi (r)\right\vert ^2$ y recordando que

con estas consideraciones la parte de interacción del Hamiltoniano se reemplaza por su valor medio con una energía de interacción

$$U=\frac{4\pi han}m$$ (130)

que exista el límite $N_o$ (que el número de átomos sea muy pequeño) implica que el espaciamiento entre los niveles $\left( \hbar \varpi \right)$ sea mayor que la energía de interacción. Se entiende que este límite requiere que $N_{o\max }$ sea del orden de $l_o/\left\vert a\right\vert$ donde $l_o=\left( \hbar /m\varpi \right) ^{1/2}$ se conoce como la longitud de escala de una partícula atrapada en el estado base. De esta manera las interacciones se consideran pequeñas perturbaciones a la solución del gas ideal. Además, la densidad del condensado $N_o/l_o^3$ tiende a cero a medida que la longitud de escala se hace infinita.

donde $\mu$ es el potencial químico y $V(r)$ es el potencial de confinamiento provisto por la trampa. En trampas armónicas con simetría esférica y frecuencia de oscilación $\varpi$

$$V(r)=m\varpi ^2r^2/2$$

de Schrödinger para la función de onda del condensado $\psi (r)$

$$\left( -\frac{\hbar ^2}{2m}\nabla ^2+V(r)+U(r)-\mu \right) \psi =0$$ (131)

la solución para $\psi$ es válida para densidades bajas y se tiene que considerar además que las soluciones que existen para $\psi$ son solo las soluciones de los estados metaestables ya que en general los gases utilizados tienden a formar sólidos cristalinos a bajas temperaturas. Además, para temperaturas mayores a 0 hay que tomar en cuenta las oscilaciones térmicas y $N_{o\max }$ bajo estas consideraciones es menor.