Tensores

Se tiene un sistema de coordenadas primado y uno no primado, tal que $%% x^{i}=x^{i}\left( x^{i^{\prime }}\right)$; la cual es una función real, univaluada y sus derivadas existen. En forma diferencial las ecuaciones son

$$\begin{array}{ccc} dx^{i}=a_{i^{\prime }}^{i}dx^{i^{\prime... ... & dx^{i^{\prime }}=a_{i}^{i^{\prime }}dx^{i} \end{array}$$ (2.11)

donde

$$\begin{array}{ccc} a_{i^{\prime }}^{i}=\frac{\partial x^{i... ...frac{\partial x^{i^{\prime }}}{\partial x^{i}} \end{array}$$ (2.12)

$a_{i^{\prime }}^{i}$ y $a_{i}^{i^{\prime }}$ son los coeficientes de transformación y cumplen con la propiedad $a_{i^{\prime }}^{i}a_{j}^{i^{\prime }}=\delta _{j}^{i}$. Un sistema de coordenadas es una manera de identificar puntos en el espacio. Su propósito es nombrar puntos, el de la métrica es conectarlos geométricamente. En el caso de un espacio plano, la distancia entre dos puntos $\left( x^{1},y^{1}\right)$ y $\left( x^{2},y^{2}\right)$ la distancia es $\left[ \left( x^{1}-x^{2}\right) ^{2}+\left( y^{1}-y^{2}\right) ^{2}\right] ^{1/2}$; así, el espacio tiene asignada una métrica. La métrica puede ser asignada diferencialmente mediante $%% g_{ij}$, el tensor métrico. Si en un sistema de coordenadas el tensor métrico es $g_{i^{\prime }j^{\prime }},$ se cumple que $ds^2=g_{i^{\prime }j^{\prime }}dx^{i^{\prime }}dx^{j^{\prime }}.$ El tensor métrico se puede transformar con ayuda de la ec. 2.12. Al hacer esto resulta que

$$ds^2 = g_{i^{\prime }j^{\prime }}a_i^{i^{\prime }}dx^ia_j^{j^{\prime }}dx^j$$

$$ds^2 = g_{ij}dx^idx^j$$ (2.13)

es decir,

$$g_{ij}=a_i^{i^{\prime }}a_j^{j^{\prime }}g_{i^{\prime }j^{\prime }}$$ (2.14)

En forma general, un tensor se tranforma de esta manera. Si una cantidad dada se transforma de acuerdo a la ec. 2.14, entonces esa cantidad es un tensor. [3] Este tipo de transformaciones se conoce como transformaciones lineales. La ec. 2.13 puede escribirse así:

$$ds^{2}=dx_{i}dx^{i}$$ (2.15)

donde $dx_{i}=g_{ij}dx^{j}.$ De esta manera se dice que $dx^{i}$ es un intervalo contravariante y $dx_{i}$ es un intervalo covariante . Se puede observar que mediante el tensor métrico es posible subir o bajar (como en este caso) los índices de un vector o un tensor.