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Símbolos de Christoffel

Un vector se desplaza paralelamente cuando no se cambia su magnitud ni dirección. Cuando se desplaza paralelamente un vector en coordenadas cartesianas, las componentes de los vectores permanecen sin cambio alguno. En algunos sistemas de coordenadas esto no es así y al mover un vector paralelamente, de un punto a otro, sus componentes cambian. El símbolo de Christoffel $\Gamma _{ij}^{k}$ se define para facilitar la descripción de los desplazamientos paralelos. Si un vector $A^{i}$ es paralelamente desplazado sobre un intervalo $\delta x^{j},$ el cambio en sus componentes $%%A^{k}$ está determinado por el símbolo de Christoffel:

$$\delta A^{k}=-\Gamma _{ij}^{k}A^{i}\delta x^{j}$$ (2.16)

En forma general, los símbolos de Christoffel se pueden obtener del tensor métrico, de tal forma que

$$\Gamma _{ij}^{k}=\frac{1}{2}g^{ks}\left( g_{js,i}+g_{si,j}-g_{ij,s}\right)$$ (2.17)

donde $g_{ij,s}=\partial g_{ij}/\partial x^{s}$. La ec. 2.16 expresa el cambio en las componentes de un vector contravariante al ser desplazado paralelamente. Una expresión similar se puede encontrar para el caso en que el vector sea covariante. Considerando el hecho que el producto interior de dos vectores es un invariante, se puede decir que

$$\delta \left( A_{i}B^{i}\right) =0=A_{k}\delta B^{k}+B^{i}\delta A_{i}$$ (2.18)

sustituyendo $\delta B^{k}$ de la ec.  2.16 y despejando $\delta A_{i}$ se obtiene que

$$\delta A_{i}=\Gamma _{ij}^{k}A_{k}\delta x^{j}$$ (2.19)

Es importante observar que $\delta A^k$ y $\delta A_k$ no son vectores debido a que $\Gamma$ no es un tensor. En coordenadas cartesianas $\delta A^k$ es igual a cero pero no lo es en coordenadas polares. Un vector que es cero en un sistema de coordenadas no puede ser diferente de cero en otro sistema. El mismo argumento se aplica a los símbolos de Christoffel. En un sistema cartesiano éstos son iguales a cero, pero no lo son en coodenadas polares. [3]