Derivada covariante

Se considera que $A^i=a_{i^{\prime }}^iA^{i^{\prime }}.$ Tomando la derivada ordinaria se tiene

$$dA^i=d\left( a_{i^{\prime }}^i\right) A^{i^{\prime }}+a_{i^{\prime }}^idA^{i^{\prime }}$$ (2.20)

si las componentes no cambian, entonces $dA^{i^{\prime }}=0$ y $dA^i$ es debido sólo al desplazamiento paralelo; por lo tanto $d\left( a_{i^{\prime }}^i\right) A^{i^{\prime }}=\delta A^i.$ Entonces,

$$a_{i^{\prime }}^idA^{i^{\prime }} = dA^i-\delta A^i$$

$$dA^{i^{\prime }} = a_i^{i^{\prime }}\left( dA^i-\delta A^i\right)$$ (2.21)

para un sistema estrellado, $dA^{i^{\prime }}=a_{i^{*}}^{i^{\prime }}\left( dA^{i^{*}}-\delta A^{i^{*}}\right)$ que al igualarlos da

$$a_i^{i^{\prime }}\left( dA^i-\delta A^i\right) = a_{i^{*}}^{i^{\prime }}\left( dA^{i^{*}}-\delta A^{i^{*}}\right)$$

$$a_{i^{\prime }}^ja_i^{i^{\prime }}\left( dA^i-\delta A^i\right) = a_{i^{\prime }}^ja_{i^{*}}^{i^{\prime }}\left( dA^{i^{*}}-\delta A^{i^{*}}\right)$$

$$\left( dA^i-\delta A^i\right) = a_{i^{*}}^j\left( dA^{i^{*}}-\delta A^{i^{*}}\right)$$ (2.22)

de esta última ecuación, se ve que la magnitud entre paréntesis se transforma como un vector, por lo tanto es un vector, designado como

$$DA^i=dA^i-\delta A^i$$ (2.23)

Esta diferencia da el cambio en el vector debido a las características curvilíneas del sistema de coordenadas, dejando el cambio real en el vector. La ec. 2.23 se puede escribir como [3]

$$DA^i=\left( \frac{dA^i}{dx^j}+\Gamma _{jk}^iA^k\right) dx^j$$ (2.24)

la cantidad entre paréntesis es un tensor mixto llamado derivada covariante. La ec. 2.24 puede escribirse de la forma siguiente:

$$A_{;j}^i=A_{,j}^i+\Gamma _{jk}^iA^k$$ (2.25)

donde el punto y coma representa la derivada covariante. De la misma forma, para un vector covariante se tiene

$$A_{i;j}=A_{i,j}-\Gamma _{ij}^kA_k$$ (2.26)

Todos los conceptos anteriores se pueden generalizar fácilmente para la geometría del espacio-tiempo, simplemente haciendo las sumatorias sobre cuatro dimensiones.