Introducción

La formulación de la teoría de la relatividad general tiene como concepto central el principio de equivalencia. Este principio implica que las ecuaciones deben escribirse en forma covariante, o sea, independiente del sistema de coordenadas. Una característica de las ecuaciones de Einstein es que algunas de ellas representan constricciones en las variables dinámicas, las cuales están relacionadas con las identidades de Bianchi, $G_{;\nu }^{\mu \nu }=0.$ Separar las ecuaciones dinámicas de aquellas que presentan constricciones se hace difícil debido a la misma forma covariante de expresar las ecuaciones. Una forma de analizar la dinámica de la relatividad general consiste en verla como un problema de Cauchy, es decir, analizar la dinámica como la evolución de una hipersuperficie tridimensional donde estén definidos los campos. Esta manera de formular la relatividad general fue desarrollada por R. Arnowitt, S. Deser y C. W. Misner [8]. Este formalismo se conoce por las iniciales de sus autores como la formulación ADM de la relatividad general y se desarrolló a principios de los años 60. La obtención de las ecuaciones de Einstein a través de la formulación ADM tiene su forma más clara usando el principio variacional, el cual involucra la construcción de una cantidad invariante llamada lagrangiano. En relatividad general, la constucción de invariantes se basa en el escalar de curvatura $R,$ integrado sobre un tetra-volumen. Se busca que esta cantidad sea, como su nombre lo indica, un invariante en cualquier sistema de coordenadas. Dado que una función escalar cumple con este requerimiento, $R$ será un invariante. La propuesta inmediata sería tomar a $R$ como una densidad lagrangiana, de tal forma que al efectuar la integral $\int Rd^4x$ se obtenga una función denominada acción. Esta propuesta tiene el inconveniente de que $d^4x$ no es un invariante. Para corregir este defecto, se introduce el factor $\sqrt{-g},$ donde $g$ es el determinante de la métrica en cuatro dimensiones. Se puede decir entonces, que el invariante que determina una densidad lagrangiana para la parte geométrica de las ecuaciones de Einstein será

$$\mathcal{L}_{geo}=\sqrt{-g}R$$ (3.1)

El principio variacional para la teoría gravitacional fue postulado por Hilbert, quien lo expresó de la forma [5]

$$S = \int \sqrt{-g}Rdx^4$$

$$S = \int \mathcal{L}_{geo}d^4x$$ (3.2)

donde la densidad lagrangiana está dada por la ec. 3.1. Al realizar la variación de esta densidad lagrangiana con respecto a los campos de la métrica $g^{\mu \nu }$ se obtiene la parte izquierda de la ec. 2.38, que es la ecuación de campo en el vacío $%% G^{\mu \nu }=0.$

$$\frac{\delta \mathcal{L}_{geo}}{\delta g^{\mu \nu }}=\sqrt{-g}\left[ R_{\mu \nu }-\frac 12g_{\mu \nu }R\right]$$ (3.3)

Para obtener la parte derecha de la ec. 2.38 se necesita una densidad lagrangiana de materia apropiada y así tener completa esta ecuación. La densidad lagrangiana total estará compuesta entonces de dos partes

$$\mathcal{L}_{total}=\mathcal{L}_{geometria}+\mathcal{L}_{materia}$$ (3.4)

la obtención del lagrangiano de materia se verá en la sección 3.5. La construcción de un hamiltoniano a partir de este punto, implica la construcción de los momentos canónicos conjugados a las variables dinámicas, es decir, a las diez componentes del tensor métrico, tomando la derivada parcial de la densidad lagrangiana respecto de las velocidades. Para hacer esto, es necesario privilegiar una coordenada o una dirección en el espacio-tiempo. La forma de hacerlo es considerar rebanadas del espacio-tiempo, de tal manera que cada una de estas rebanadas sea una hipersuperficie de tres dimensiones con una métrica positiva definida en ella. Si a cada una de estas hipersuperficies se le identifica con un parámetro $t$ y se pide que ninguna de ellas se interseque, entonces se puede considerar la evolución de las mismas como el cambio de éstas en el parámetro $t$ y cubrir así todo el espacio-tiempo. La trimétrica $g_{ij}$ definida en cada hipersuperficie depende del tiempo y se puede considerar como una variable dinámica. [9] De aquí en adelante, la trimétrica $g_{ij}$ se diferencia de la métrica original $^{\left( 4\right) }g_{\mu \nu }$ por los índices y además, para disminuir la ambigüedad, se le antepone el número de dimensiones. La métrica $g_{ij}$ tiene seis componentes, esto implica que se deben definir otras cuatro variables para tener un total de diez, que es el número de componentes del tensor métrico original $^{\left( 4\right) }g_{\mu \nu }.$ Estas nuevas variables son las funciones $N$ y $N^{i},$ llamadas función lapse y función shift, respectivamente. La función lapse está relacionada con la separación entre cada hipersuperficie. La función shift tiene que ver con el movimiento de un punto al pasar de una hipersuperficie a otra. Lo que sigue ahora es reescribir el elemento de línea $ds^2$ en funcion de la trimétrica $g_{ij}$ y las variables $N$ y $N^i.$ Posteriormente, se procede a formular la acción gravitacional en términos de la nuevas variables. La acción estará dada como

$$S=\int \int \sqrt{g}N\left( K^{ij}K_{ij}-K^2+R\right) d^3xdt$$ (3.5)

donde $K_{ij}$ es la curvatura extrínseca. La no dependencia de la densidad lagrangiana de las derivadas temporales de $N$ y $N^i$, permite considerarlas como variables dinámicas no relevantes. Esto quiere decir que las verdaderas variables dinámicas son las seis componentes de $%% g_{ij}.$ Ahora se puede construir la densidad hamiltoniana $\mathcal{H},$ a partir de la densidad lagrangiana. Para esto se definen los momentos canónicos conjugados a $g_{ij}$ de la forma

$$\pi ^{ij}=\frac{\partial L}{\partial \dot{g}_{ij}}$$ (3.6)

donde el punto sobre $g_{ij}$ indica derivada respecto de $t$. La cantidad $%% \pi ^{ij}$ se trabaja como una densidad tensorial. Con esto, la densidad hamiltoniana está dada por

$$\mathcal{H}=\pi ^{ij}\dot{g}_{ij}-\mathcal{L}$$ (3.7)

esta densidad hamiltoniana tiene la forma

$$\mathcal{H}=N \mathcal{H}_{0}+N^i \, \mathcal{H}_i$$ (3.8)

Con la densidad hamiltoniana se puede escribir la acción donde las variables dinámicas sean $g_{ij}$ y $\pi ^{ij},$ la expresión es

$$S=\int \int \left( \pi \dot{g}_{ij}-N\, \mathcal{H}_{0}+N^i \, \mathcal{H}%% _i\right) d^{3}xdt$$ (3.9)

La ecuaciones de movimiento se obtienen al hacer las variaciones respecto de las diferentes variables. [9]