Descomposición en 3+1

Se consideran dos hipersuperficies las cuales se etiquetan con los nombres $%% t$ y $t+dt.$ Un punto en la hipersuperficie $t$ está identificado con otro punto en la hipersuperficie $t+dt$. La correspondencia entre estos se hace a través de un vector que une dichos puntos y que a su vez da la distancia entre los mismos. Para lograr esto se necesita lo siguiente:

1. El conocimiento de la trimétrica $g_{ij}\left( t,x,y,z\right) dx^i\,dx^j$ en la hipersuperficie $t,$ la cual da la distancia entre dos puntos situados sobre ella.
2. La trimétrica $g_{ij}\left( t+dt,x,y,z\right) dx^i\,dx^j$ en la hipersuperficie $t+dt$.
3. Una fórmula para la distancia propia entre las hipersuperficies, la cual está dada por
   

   $$N\left( t,x,y,z\right) dt$$ (3.10)

   
   
   donde $N$ es la función lapse. La expresión anterior da la longitud de un vector perpendicular a $t$, que se extiende entre las dos hipersuperficies.
4. Una fórmula para la distancia (en la hipersuperficie $t$) a la que se encuentran los puntos que se corresponden mutuamente, que es
   

   $$dx^i+N^i\left( t,x,y,z\right) dt$$ (3.11)

   
   
   donde $N^i$ es la función shift. El término $N^idt$ representa el desplazamiento que se manifiesta cuando los orígenes de los sistemas de coordenadas de las hipersuperficies no están unidos por un vector ortogonal a ambas.

El intervalo invariante entre $x^{\alpha }=\left( t,x^{i}\right)$ y $%% x^{\alpha }+dx^{\alpha }=\left( t+dt,x^{i}+dx^{i}\right)$ está dado por

$$ds^{2} = g_{ij}\left( dx^{i}+N^{i}dt\right) \left( dx^{j}+N^{j}dx^{j}\right) -\left( Ndt\right) ^{2}$$

$$ds^{2} = \left( N_{i}N^{i}-N^{2}\right) dt^{2}+2N_{i}dx^{i}dt+g_{ij}dx^{i}dx^{j}$$ (3.12)

Puede verse que en el caso de $N^{i}=0$ el elemento de línea tendrá contribuciones de la distancia sobre la hipersuperficie base $t$ y el tiempo propio, pues la evolución de las hipersuperficies es meramente temporal. Comparando la ec. 3.12 con la métrica en cuatro dimensiones se llega a

$$\left( \begin{array}{cc} ^{\left( 4\right) }g_{00} & ^{\... ...N^{s}-N^{2} & N_{k} \\ N_{i} & g_{ik} \end{array} \right)$$ (3.13)

En la ecuación anterior, $N^m$ son las componentes contravariantes de la función shift. La relación entre las covariantes está dada por $%% N_i=g_{im}\,N^m$. La relación inversa se expresa como $N^m=g^{ms}\,N_s,$ donde $g^{ms}$ es el inverso de $g_{ms}$ y cumplen con $g^{ms}g_{sk}=\delta _k^m.$ La cuatro-métrica contravariante correspondiente es [5]

$$\left( \begin{array}{cc} ^{\left( 4\right) }g^{00} & ^{\... ...m/N^2 \\ N^k/N^2 & g^{km}-N^kN^m/N^2 \end{array} \right)$$ (3.14)