Formulación hamiltoniana

Hasta ahora se ha obtenido la acción gravitacional de tal manera que al hacer la variación de la misma e igualarla a cero se llega a las ecuaciones de campo en el vacío. Este procedimiento conduce a la obtención de ecuaciones diferenciales de segundo orden. Si lo que se quiere es tener ecuaciones de primer orden, existen varias formas de lograrlo. Uno de ellos es tomar la acción à la Palatini. [5] El otro camino consiste en definir nuevas variables, los momentos, a partir del lagrangiano; luego tratar de reescribir el lagrangiano en términos de las variables originales y los momentos, tomándolas como variables independientes. Esto duplica el número de variables independientes e involucra la construcción de un hamiltoniano. Para esto se definen los momentos canónicamente conjugados a las seis componentes $g_{ij}$ de la forma siguiente

$$\pi ^{ij}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{g}_{ij}}$$ (3.20)

Los momentos asociados a las variables $N$ y $N^{i}$ serán iguales a cero puesto que la densidad lagrangiana no depende de sus derivadas temporales. El hamiltoniano estará dado por

$$H=\int d^{3}x\left( \pi ^{ij}\dot{g}_{ij}-\mathcal{L}\right)$$ (3.21)

en función de las variables ADM, esta expresión se convierte en

$$H = \int N\sqrt{^{\left( 3\right) }g}\left( K_{ij}K^{ij}-K^{2}-^{\left( 3\right) }R\right) +N^a\left( 2\pi _{a\mid b}^{b}\right) d^{3}x$$

$$H \equiv \int N\,\mathcal{H}_{0}+N^{i}\,\mathcal{H}_{i}d^{3}x$$ (3.22)

donde

$$\mathcal{H}_{0} = \sqrt{^{\left( 3\right) }g}\left( K_{ij}K^{ij}-K^{2}-^{\left( 3\right) }R\right)$$ (3.23)

$$\mathcal{H}_a = 2\pi _{a\mid b}^{b}$$ (3.24)

la barra ''$\mid$'' representa la derivada covariante en tres dimensiones. Ahora se puede escribir el lagrangiano a partir de las ecs. 3.21 y 3.22

$$\mathcal{L}=\pi ^{ij}\dot{g}_{ij}-N\,\mathcal{H}_{0}+N^{i}\,\mathcal{H}_{i}$$ (3.25)

La ec. 3.23 se puede escribir en función de los momentos $\pi ^{ij}$ de la siguiente manera

$$\mathcal{H}_{0}=-\sqrt{^{\left( 3\right) }g}\left[ ^{\left(... ...( \pi _{k}^{k}\right) ^{2}-\pi ^{ij}\pi _{ij}\right) \right]$$ (3.26)