Lagrangiano de los campos de materia $\mathcal{L}_{mat}$

Al considerar las fuentes del campo gravitacional, es decir, la materia; las ecuaciones de Einstein son

$$G_{\mu \nu }=8\pi GT_{\mu \nu }$$ (3.27)

esta ecuación es la forma covariante de la ec. 2.38. La parte izquierda de la ec. 3.27 se construyó exclusivamene de cantidades que involucran a la geometría del espacio-tiempo. La parte derecha representa la fuente del campo gravitacional. En esta sección se obtendrá la densidad lagrangiana para campos de materia por medio del tensor de momento y energía $T_{\mu \nu }$, y con la suposición de que esta densidad lagrangiana $\mathcal{L}_{mat}$ no contiene derivadas de la métrica; así, las variaciones de $\mathcal{L}%% _{mat}$ con respecto al tensor métrico $g^{\mu \nu }$ son dadas por derivadas parciales con respecto a la métrica. En otras palabras, el conjunto de ecuaciones diferenciales que debe satisfacer la densidad lagrangiana de materia $\mathcal{L}_{mat}$ están dadas por la siguiente relación

$$\frac{\delta \mathcal{L}_{mat}}{\delta {^{(4)}}g^{\mu \nu }}=-8\pi \mathcal{T}_{\mu \nu }$$ (3.28)

donde $\mathcal{T}_{\mu \nu }=\sqrt{-{^{(4)}}g}T_{\mu \nu }$ nos representa la densidad tensorial de $T_{\mu \nu }$. De este modo, se puede escribir estas derivadas parciales $\frac{\partial }{\partial {^{(4)}}g^{\mu \nu }}$ en términos de $\frac{\partial }{\partial N}$, $\frac{\partial }{\partial N^{i}}$ y $\frac{\partial }{\partial g^{ij}}$, y así construir un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales para $\mathcal{L}_{mat}$, dependiendo únicamente de las variables $N,N^{i},g^{ij}$, y de los campos de materia que se contemplan en el tensor $T^{\mu \nu }$. La métrica contravariante $^{(4)}g^{\mu \nu }$ en términos de las variables ADM se expresa en la ec. 3.14 de donde se puede evaluar directamente las correspondientes derivadas parciales, como se observa a continuación [10]

$$\frac \partial {\partial {^{(4)}}g^{00}} = \left. \frac{\partial N}{%% \partial {^{(4)}}g^{00}}\right\vert ... ...}g^{00}}\right\vert _{g^{0k}g^{km}}\frac \partial {\partial {%% ^{(3)}}g^{km}}$$

$$= \frac 12N^3\frac \partial {\partial N}+N^mN^2\frac \partial {\partial N^m}+N^kN^m\frac \partial {\partial {^{(3)}}g^{km}}.$$ (3.29)

Los otros términos vienen a ser $\frac \partial {\partial {^{(4)}}%% g^{0m}}$, $\frac \partial {\partial {^{(4)}}g^{km}}$

$$\frac \partial {\partial {^{(4)}}g^{0m}} = \left. \frac{\partial N}{%% \partial {^{(4)}}g^{0m}}\right\vert ... ...}g^{0m}}\right\vert _{g^{00}g^{km}}\frac \partial {\partial {%% ^{(3)}}g^{km}}$$

$$= N^2\frac \partial {\partial N^m}+2N^k\frac \partial {\partial {^{(3)}}%% g^{km}}$$ (3.30)

$$\frac \partial {\partial {^{(4)}}g^{km}} = \frac \partial {\partial {\ ^{(3)}}g^{km}}$$ (3.31)

Usando la ec. 3.28, se puede escribir las expresiones correspondientes a las ecs. 3.29, 3.30 y 3.31, quedando de la siguiente manera

$$\frac{1}{2}N^{3}\frac{\partial \mathcal{L}_{mat}}{\partial N}+N^{... ...ial N^{m}}+N^{k}N^{m}\frac{\partial \mathcal{L}_{mat}}{\partial {^{(3)}}g^{km}} = -8\pi \sqrt{-{^{(4)}}g}T_{00}$$ (3.32)

$$\frac{1}{2}N^{2}\frac{\partial \mathcal{L}_{mat}}{\partial N^{m}}+N^{k}\frac{%% \partial \mathcal{L}_{mat}}{\partial {^{(3)}}g^{km}} = -8\pi \sqrt{-{^{(4)}}%% g}T_{0m}$$ (3.33)

$$\frac{\partial \mathcal{L}_{mat}}{\partial {^{(3)}}g^{km}} = -8\pi \sqrt{-{%% ^{(4)}}g}T_{km}$$ (3.34)