Buscando la solución general del problema

La ec. 4.46 tiene la forma de una ecuación onda con fuente. El problema es que la variable independiente aparece en el lado derecho de la ecuación, lo cual hace que no se le pueda encontrar una solución exacta. Lo mismo se puede decir de la ec. 4.48, la cual es una ecuación en derivadas parciales, no homogenea y no lineal. La ec. 4.49 se puede escribir la forma

$$\frac{\partial }{\partial \eta }\left( e^{-U}\dot{V}\right)... ...ac{\partial }{\partial \mu }\left( e^{-U}V^{\prime }\right)$$ (4.50)

esta ecuación manifiesta que las derivadas parciales de las expresiones entre paréntesis deben ser iguales. Esta condición se satisface si tales cantidades tiene la forma

$$e^{-U}\dot{V} = A_{0}f\left( \eta \pm \mu \right)$$

$$e^{-U}V^{\prime } = A_{1}g\left( \eta \pm \mu \right)$$ (4.51)

donde $f$ y $g$ son funciones arbitraria cuyo argumento debe ser de la forma $\eta \pm \mu$, y $A_{0}$ y $A_{1}$ son constantes de integración. Conociendo la función $U$ se podría resolver las ecuaciones anteriores para encontrar $V.$ Del tensor de energía-momentum se obtienen dos ecuaciones más. Estas provienen de la propiedad $T_{;\nu }^{\mu \nu }=0.$ La ec. 4.17 da el tensor de energía-momentum para un fluido perfecto. Al tomar la derivada covariante e igualarla a cero se obtienen las siguientes expresiones

$$e^{2M}\rho \left( \dot{M}\epsilon u_0^2-\dot{M}\epsilon u_3^2+\do... ...epsilon u_0^2-2\dot{U}u_0+2U^{\prime }\epsilon u_0u_3+2U^{\prime }u_0u_3\right.$$

$$\left. +4\dot{u}_0\epsilon u_0+4\dot{u}_0u_0-2u_0^{\prime }\epsil... ...e }u_0\right) +2e^M\left( e^M\dot{\rho}\epsilon u_0^2+e^M\dot{\rho}u_0^2\right.$$

$$\left. -\dot{\rho}\epsilon -e^M\rho ^{\prime }\epsilon u_0u_3-e^M\rho ^{\prime }u_0u_3\right) =0$$ (4.52)

$$e^{2M}\rho \left( -M^{\prime }\epsilon u_0^2+M^{\prime }\epsilon ... ...^2+2\dot{U}\epsilon u_0u_3+2\dot{U}%% u_0u_3-2U^{\prime }\epsilon u_3^2\right.$$

$$\left. -2U^{\prime }u_3^2-2\dot{u}_0\epsilon u_3-2\dot{u}_0u_3-2\... ...n u_3+4u_3^{\prime }u_3\right) +2e^M\left( -e^M\dot{\rho}\epsilon u_0u_3\right.$$

$$\left. -e^M\dot{\rho}\epsilon u_0u_3-e^M\dot{\rho}u_0u_3+e^M\rho ... ...rime }\epsilon u_3^2+e^M\rho ^{\prime }u_3^2+\rho ^{\prime }\epsilon \right) =0$$ (4.53)

De la condición planteada por la ec. 4.18 se obtiene que

$$u_0u^0+u_3u^3 = -1$$

$$u_0^2g^{00}+u_3^2g^{33} = -1$$

$$e^M\left( u_3^2-u_0^2\right) = -1$$ (4.54)

en base a la expresión anterior se propone que

$$u_0 = e^{-M/2}\cosh \omega$$

$$u_3 = e^{-M/2}\sinh \omega$$ (4.55)

donde $\omega$ es una nueva variable desconocida. Sustituyendo estas expresiones para $u_0$ y $u_3$ en la ec. 4.54 se tiene lo siguiente

$$\sinh ^2\omega -\cosh ^2\omega =-1$$ (4.56)

esta es una identidad que se cumple para cualquier valor real del parámetro $\omega$. Estas ecuaciones aportan información acerca del comportamiento de los campos . Sin embargo su forma es muy compleja para poder extraer la información de ellas. Debido a esto y a la dificultad de encontrar una solución a las ecuaciones presentadas anteriormente se tratará con un problema más sencillo que el original, esto se detalla en la siguiente sección.