CÁLCULO DEL ESCALAR DE CURVATURA

Dada la trimétrica $ds^2=e^{-U+V}dx^2+e^{-U-V}dy^2+e^{-M}d\mu ^2,$ se procede a obtener los símbolos de Christoffel, dados por la siguiente ecuación

$$\Gamma _{ij}^k=\frac 12g^{ks}\left( g_{js,i}+g_{si,j}-g_{ij,s}\right)$$ (A.1)

De los 27 $\Gamma _{ij}^k$, aquellos que son diferentes de cero son

$$\Gamma _{13}^1 = -\frac 12U^{\prime }+\frac 12V^{\prime }$$

$$\Gamma _{31}^1 = -\frac 12U^{\prime }+\frac 12V^{\prime }$$

$$\Gamma _{23}^2 = -\frac 12U^{\prime }-\frac 12V^{\prime }$$

$$\Gamma _{32}^2 = -\frac 12U^{\prime }-\frac 12V^{\prime }$$ (A.2)

$$\Gamma _{11}^3 = \frac 12\left( U^{\prime }-V^{\prime }\right) e^{M-U+V}$$

$$\Gamma _{22}^3 = \frac 12\left( U^{\prime }+V^{\prime }\right) e^{M-U-V}$$

$$\Gamma _{33}^3 = -\frac 12M^{\prime }$$

Con lo anterior se puede encontrar el tensor de Riemann mediante la expresión

$$R_{\beta \gamma \delta }^\alpha =\Gamma _{\beta \delta ,\ga... ...mu -\Gamma _{\mu \delta }^\alpha \Gamma _{\beta \gamma }^\mu$$ (A.3)

Las componentes diferentes de cero son las siguientes

$$R_{212}^1 = \frac 14\left( -U^{\prime }+V^{\prime }\right) \left( U^{\prime }+V^{\prime }\right) e^{M-U-V}$$

$$R_{221}^1 = -\frac 14\left( -U^{\prime }+V^{\prime }\right) \left( U^{\prime }+V^{\prime }\right) e^{M-U-V}$$

$$R_{313}^1 = \frac 12U^{\prime \prime }-\frac 12V^{\prime \prime }-\frac 14(U^... ...14(V^{\prime })^2+\frac 14M^{\prime }U^{\prime }-\frac 14M^{\prime }V^{\prime }$$

$$R_{331}^1 = -\frac 12U^{\prime \prime }+\frac 12V^{\prime \prime }+\frac 14(U... ...14(V^{\prime })^2-\frac 14M^{\prime }U^{\prime }+\frac 14M^{\prime }V^{\prime }$$

$$R_{112}^2 = \frac 14\left( U^{\prime }+V^{\prime }\right) \left( U^{\prime }-V^{\prime }\right) e^{M-U+V}$$

$$R_{121}^2 = -\frac 14\left( U^{\prime }+V^{\prime }\right) \left( U^{\prime }-V^{\prime }\right) e^{M-U+V}$$

$$R_{323}^2 = \frac 12U^{\prime \prime }+\frac 12V^{\prime \prime }-\frac 14(U^... ...14(V^{\prime })^2+\frac 14U^{\prime }M^{\prime }+\frac 14V^{\prime }M^{\prime }$$ (A.4)

$$R_{332}^2 = -\frac 12U^{\prime \prime }-\frac 12V^{\prime \prime }+\frac 14(U... ...14(V^{\prime })^2-\frac 14U^{\prime }M^{\prime }-\frac 14V^{\prime }M^{\prime }$$

$$R_{113}^3 = \frac 14e^{M-U+V}\left( -U^{\prime }M^{\prime }+V^{\prime }M^{\pr... ...{\prime \prime }+(U^{\prime })^2-2U^{\prime }V^{\prime }+(V^{\prime })^2\right)$$

$$R_{131}^3 = -\frac 14e^{M-U+V}\left( -U^{\prime }M^{\prime }+V^{\prime }M^{\p... ...{\prime \prime }+(U^{\prime })^2-2U^{\prime }V^{\prime }+(V^{\prime })^2\right)$$

$$R_{223}^3 = \frac 14e^{M-U-V}\left( -U^{\prime }M^{\prime }-V^{\prime }M^{\pr... ...{\prime \prime }+(U^{\prime })^2+2U^{\prime }V^{\prime }+(V^{\prime })^2\right)$$

$$R_{232}^3 = -\frac 14e^{M-U-V}\left( -U^{\prime }M^{\prime }-V^{\prime }M^{\p... ...{\prime \prime }+(U^{\prime })^2+2U^{\prime }V^{\prime }+(V^{\prime })^2\right)$$

Con lo anterior se calcula el tensor de Ricci, que se encuentra contrayendo el tensor de Riemann, esto es

$$R_{\mu \nu }=R_{\mu \alpha \nu }^\alpha$$ (A.5)

esta ecuación da el siguiente resultado

$$R_{11} = \frac 14e^{M-U+V}\left( -2(U^{\prime })^2+2U^{\prime \prime }-2V^... ... }+2U^{\prime }V^{\prime }+U^{\prime }M^{\prime }-V^{\prime }M^{\prime }\right)$$

$$R_{22} = \frac 14e^{M-U-V}\left( -2(U^{\prime })^2+2U^{\prime \prime }+2V^... ... }-2U^{\prime }V^{\prime }+U^{\prime }M^{\prime }+V^{\prime }M^{\prime }\right)$$ (A.6)

$$R_{33} = U^{\prime \prime }-\frac 12(U^{\prime })^2-\frac 12(V^{\prime })^2+\frac 12U^{\prime }M^{\prime }$$

Finalmente, el escalar de curvatura está dado por

$$R = g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }$$

$$R = \frac 12e^M\left( -3(U^{\prime })^2+4U^{\prime \prime }+2U^{\prime }M^{\prime }-(V^{\prime })^2\right)$$ (A.7)