Tensor de Riemann, tensor de Ricci y escalar de curvatura

El tensor de Riemann se obtiene de la siguiente expresión

$$\left[ \nabla _{\nu },\nabla _{\mu }\right] A_{\beta %% }\equiv R_{\beta \mu \nu }^{\alpha }A_{\alpha }$$ (2.27)

donde $\nabla _{\nu }$ es la derivada covariante respecto de $x^{\nu }$ y $\left[ \nabla _{\nu },\nabla _{\mu }\right]$ $%% =\nabla _{\nu }\nabla _{\mu }-\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }$. El tensor de Riemann $R_{\beta \mu \nu }^{\alpha}$ se puede interpretar como una medida de la no conmutatividad de la derivada covariante. Este tensor puede ser obtenido a partir de los símbolos de Christoffel y sus derivadas [5]

$$R_{\beta \gamma \delta }^{\alpha }=\Gamma _{\beta \delta ,\... ...-\Gamma _{\mu \delta }^{\alpha }\Gamma _{\beta \gamma }^{\mu}$$ (2.28)

Al bajar el índice contravariante del tensor de Riemann se obtiene el tensor de curvatura, dado como

$$R_{\sigma \beta \gamma \delta }=g_{\sigma \alpha }R_{\beta \gamma \delta }^{\alpha }$$ (2.29)

El tensor de Riemann tiene 256 componentes pero no todas son independientes debido a las simetrías que presenta este tensor. Algunas de ellas son $%% R_{\beta \gamma \delta }^{\alpha }=-R_{\beta \delta \gamma }^{\alpha }$ y $R_{\beta \gamma \delta }^{\alpha }+R_{\gamma \delta \beta }^{\alpha }+R_{\delta \beta \gamma }^{\alpha }=0$ El tensor de Ricci de encuentra contrayendo en tensor de Riemann de la siguiente manera

$$R_{\mu \nu }=R_{\mu \alpha \nu }^{\alpha }$$ (2.30)

La elección del índice covariante a contraer no es fija. En este trabajo se toma la definición dada en la ecuación anterior. [5] Otra forma de expresar la curvatura del espacio-tiempo es mediante el escalar de curvatura, que es

$$R=R_{\alpha }^{\alpha }=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }$$ (2.31)

en donde $g^{\mu \nu }$ es el tensor métrico contravariante y satisface la relación $g^{\mu \alpha }g_{\alpha \nu }=\delta _{\nu }^{\mu }.$