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Derivada covariante

Se considera que $A^i=a_{i^{\prime }}^iA^{i^{\prime }}.$ Tomando la derivada ordinaria se tiene
\begin{displaymath}
dA^i=d\left( a_{i^{\prime }}^i\right) A^{i^{\prime }}+a_{i^{\prime
}}^idA^{i^{\prime }}
\end{displaymath} (2.20)

si las componentes no cambian, entonces $dA^{i^{\prime }}=0$ y $dA^i$ es debido sólo al desplazamiento paralelo; por lo tanto $d\left(
a_{i^{\prime }}^i\right) A^{i^{\prime }}=\delta A^i.$ Entonces,
$\displaystyle a_{i^{\prime }}^idA^{i^{\prime }}$ $\textstyle =$ $\displaystyle dA^i-\delta A^i$  
$\displaystyle dA^{i^{\prime }}$ $\textstyle =$ $\displaystyle a_i^{i^{\prime }}\left( dA^i-\delta A^i\right)$ (2.21)

para un sistema estrellado, $dA^{i^{\prime }}=a_{i^{*}}^{i^{\prime }}\left(
dA^{i^{*}}-\delta A^{i^{*}}\right) $ que al igualarlos da
$\displaystyle a_i^{i^{\prime }}\left( dA^i-\delta A^i\right)$ $\textstyle =$ $\displaystyle a_{i^{*}}^{i^{\prime
}}\left( dA^{i^{*}}-\delta A^{i^{*}}\right)$  
$\displaystyle a_{i^{\prime }}^ja_i^{i^{\prime }}\left( dA^i-\delta A^i\right)$ $\textstyle =$ $\displaystyle a_{i^{\prime }}^ja_{i^{*}}^{i^{\prime }}\left( dA^{i^{*}}-\delta
A^{i^{*}}\right)$  
$\displaystyle \left( dA^i-\delta A^i\right)$ $\textstyle =$ $\displaystyle a_{i^{*}}^j\left( dA^{i^{*}}-\delta
A^{i^{*}}\right)$ (2.22)

de esta última ecuación, se ve que la magnitud entre paréntesis se transforma como un vector, por lo tanto es un vector, designado como
\begin{displaymath}
DA^i=dA^i-\delta A^i
\end{displaymath} (2.23)

Esta diferencia da el cambio en el vector debido a las características curvilíneas del sistema de coordenadas, dejando el cambio real en el vector. La ec. 2.23 se puede escribir como [3]
\begin{displaymath}
DA^i=\left( \frac{dA^i}{dx^j}+\Gamma _{jk}^iA^k\right) dx^j
\end{displaymath} (2.24)

la cantidad entre paréntesis es un tensor mixto llamado derivada covariante. La ec. 2.24 puede escribirse de la forma siguiente:
\begin{displaymath}
A_{;j}^i=A_{,j}^i+\Gamma _{jk}^iA^k
\end{displaymath} (2.25)

donde el punto y coma representa la derivada covariante. De la misma forma, para un vector covariante se tiene
\begin{displaymath}
A_{i;j}=A_{i,j}-\Gamma _{ij}^kA_k
\end{displaymath} (2.26)

Todos los conceptos anteriores se pueden generalizar fácilmente para la geometría del espacio-tiempo, simplemente haciendo las sumatorias sobre cuatro dimensiones.
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enrique pazos 2000-09-27