Índice General

Tensor de momentum y energía

El postulado de Einstein para el espacio vacío establece que

$$R^{\mu \nu }=0$$ (2.34)

esta ecuación describe el campo gravitacional en ausencia de materia. Para poder considerar la fuente del campo gravitacional es necesario incluir a la materia en las ecuaciones. En electrostática, se cumple la ecuación de Laplace para el campo eléctrico en el vacío, esto es $\nabla ^2\phi =0.$ Cuando se considera una distribución de carga la ecuación de Laplace se convierte en la ecuación de Poisson, $\nabla^2\phi =\rho /\varepsilon _0.$ Además, la carga cumple con la ecuación de continuidad dada por [7]

$$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\nabla \cdot \mathbf{j}=0$$ (2.35)

la cual expresa la conservación de la carga. Para introducir la materia en la ec. 2.34, se utiliza la identidad de Bianchi dada por la ec. 2.32, de la cual se obtiene el tensor de Einstein $G^{\mu \nu }.$ Por analogía con la electrostática, se postula que

$$G^{\mu \nu }=\chi T^{\mu \nu }$$ (2.36)

donde $\chi$ es una constante y $T^{\mu \nu }$ es el tensor de momentum y energía. En la sección anterior se vio que el tensor de Einstein cumple que $G_{;\nu }^{\mu \nu }=0,$ por lo tanto, el tensor de momentum y energía también cumple la misma propiedad, es decir,

$$T_{;\nu }^{\mu \nu }=0$$ (2.37)

esta ecuación es el análogo a la ecuación de continuidad 2.35. Es importante notar que la ec. 2.37 no se hubiera obtenido de la ec. 2.34 y es consecuencia de la ec. 2.32. Si en la ec. 2.36 se hace que la constante de proporcionalidad sea igual a $8\pi G,$ donde $G$ es la constante de gravitación universal; se obtiene

$$G^{\mu \nu }=8\pi GT^{\mu \nu }$$ (2.38)

esta es la forma más general de la ecuación de campo de Einstein y muestra la relación entre la materia y la curvatura del espacio-tiempo. [6] Otra forma alternativa de escribir 2.38 y que involucre al tensor de Ricci es

$$R^{\mu \nu }=8\pi G\left( T^{\mu \nu }-\frac 12g^{\mu \nu }T\right)$$ (2.39)

donde $T$ es la traza del tensor de energía-momentum y es igual a $T=g^{\alpha \beta }\,T_{\alpha \beta }$.