Ecuaciones de movimiento

Cuando se requiere obtener la información sobre que tipo de variables están involucradas en un problema de lagrangianos, se necesita obtener esa información directamente del problema mismo. Siendo esto así, se puede ver que las variables independientes para este problema en particular son $U,$ $V,$ $M,$ $\pi _{M},$ $\pi _{U},$ $\pi _{V},$ $\tilde{\rho}$ y $%% u_{3};$ ya que al ser consideradas como tales, se debe hacer la variación de la densidad lagrangina sobre estas variables, las cuales deben conducir a combinaciones de las ecuaciones de Einstein obtenidas anteriormente. Del análisis de la densidad lagrangiana, se observa que se trata con un objeto del tipo

$$\mathcal{L}_{total}=\mathcal{L}_{total}\left( \eta ;\chi ;\dot{\chi};\chi _{,k};\chi _{,k,k}\right)$$ (4.38)

donde $\chi =(U,V,M,\pi _M,\pi _U,\pi _V)$, representa a todas las variables sobre las cuales se variará la densidad lagrangiana. Se puede observar que $\mathcal{L}_{total}$ depende de las segundas derivadas de las coordenadas, por lo tanto la ecuación de Euler-Lagrange para sistemas continuos esta expresada por la siguiente relación [12] [13]

$$\frac d{d\eta }\frac{\partial \mathcal{L}_{total}}{\partial... ...ht) }-\frac{\partial \mathcal{L}_{total}}{\partial \chi }=0$$ (4.39)

De este modo, al realizar las variaciones correspondientes a cada variable se obtiene el siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales parciales.

1. Variación de $M$:
   

   $$\dot{\pi}_M+e^{-U}\left( U^{\prime \prime }-(U^{\prime })^2\right) -8\pi \rho e^{-U-M}(\epsilon -1)=0$$ (4.40)

   
   

2. Variación de $V$:
   

   $$\dot{\pi}_V+e^{-U}\left( U^{\prime }V^{\prime }-V^{\prime \prime }\right) =0$$ (4.41)

   
   

3. Variación de $U$:
   

   $$\dot{\pi}_U+e^{-U}\left( -3U^{\prime \prime }+M^{\prime \pr... ...t( \pi _U\pi _M-\frac 12\pi _M^2-\frac 12\pi _V^2\right) =0$$ (4.42)

   
   

4. Variación de $\pi _M$:
   

   $$\dot{M}+e^U(\pi _U-\pi _M)=0$$ (4.43)

   
   

5. Variación de $\pi _V$:
   

   $$\dot{V}-e^U\pi _V=0$$ (4.44)

   
   

6. Variación de $\pi _U$:
   

   $$\dot{U}+e^U\pi _M=0$$ (4.45)

   
   

Conbinando las ecs. 4.40 y 4.45 se llega a la expresión

$$e^{U+M}\left( \frac{\partial ^{2}e^{-U}}{\partial \eta ^{2}... ...}e^{-U}}{\partial \mu ^{2}}\right) =8\pi G\rho (\epsilon -1)$$ (4.46)

Esta ecuación también puede obtenerse al sumarse las ecs. 4.33 y 4.36 las cuales se obtienen directamente de las ecuaciones de Einstein. Sustituyendo las ecs. 4.43, 4.44 y 4.45 en la ecuación de constricción $H_{3}=0$ dada por

$$2\pi _{M}^{\prime }+\pi _{M}M^{\prime }+\pi _{U}\,U^{\prime... ...i _{V}\,V^{\prime }+16\pi \tilde{\rho}(\epsilon +1)u_{3}=0$$ (4.47)

se obtiene que

$$e^{M}\left( -\dot{M}U^{\prime }-M^{\prime }\dot{U}-2\dot{U}... ...V}V^{\prime }\right) =-16\pi G\,u^{0}u_{3}(\epsilon +1)\rho$$ (4.48)

este resultado no es otra cosa más que la ecuación de Einstein 4.37. Combinando las ecuaciones 4.41 y 4.44 se llega a la expresión

$$e^{-U}\left( -\dot{U}\dot{V}+\ddot{V}+U^{\prime }V^{\prime }-V^{\prime \prime }\right) =0$$ (4.49)

tal ecuación se puede obtener al restar de la ec. 4.35 la ec. 4.34, las cuales fueron obtenidas directamente de la ecuación de campo de Einstein.