Intervalo de espacio-tiempo

Sea $E$ un evento con coordenadas $\left( x,y,z,t\right)$ en el sistema $S.$ Este mismo evento visto desde un sistema de coordenadas $S^{\prime }$ que se mueve con una velocidad relativa en la dirección del eje $x$ del sistema $S,$ tendrá coordenadas $\left( x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime },t^{\prime }\right) .$ Asumiendo que en $t=t^{\prime }=0$ un rayo de luz sale del origen de $S,$ en ambos sistemas se cumple que

$$x^{2}-c^{2}t^{2}=\left( x^{\prime }\right) ^{2}-c^{2}\left( t^{\prime }\right) ^{2}=0$$ (1.3)

Esto se cumple para cualquier evento pero el resultado no siempre es cero. Aplicando las transformaciones de Lorentz se puede demostrar que para cualquier evento $\left( x,y,z,t\right)$ y $\left( x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime },t^{\prime }\right)$ se cumple que

$$x^2+y^2+z^2-c^2t^2=\left( x^{\prime }\right) ^2+\left( y^{\... ...ft( z^{\prime }\right) ^2-c^2\left( t^{\prime }\right) ^2=s^2$$ (1.4)

donde $s^2$ es el intervalo de espacio-tiempo y es invariante ante una transformación de Lorentz. Si se consideran dos puntos infinitesimalmente juntos, el cuadrado del intervalo $ds$ entre ellos se conoce como métrica. [3] En forma general, la métrica se expresa como

$$ds^2=g_{\mu \nu }dx^{\mu}dx^{\nu}$$ (1.5)

donde $g_{\mu \nu }$ es el tensor métrico, que se verá en detalle más adelante y $dx^{\alpha}$ es el desplazamientos infinitesimal de la coordenada $x^{\alpha}.$ Los subíndices y superíndices con letras griegas expresan la sumatoria sobre cuatro dimensiones. Aquellos que correspondan a letras latinas denotan sumatoria sobre tres dimensiones. La notación que se adoptará para desplazamientos contravariantes es

$$dx^0 = dt$$

$$dx^1 = dx$$ (1.6)

$$dx^2 = dy$$

$$dx^3 = dz$$

En el espacio de la relatividad especial la ec. 1.5 toma la forma

$$ds^2 = \eta _{\mu \nu }dx^{\mu}dx^{\nu}$$ (1.7)

$$ds^2 = -c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2$$

aquí, $\eta _{\mu \nu }$ se conoce como tensor de Lorentz y sus valores son

$$\eta _{\mu \nu }=\left( \begin{array}{cccc} -1 & 0 & 0 &... ...0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$ (1.8)

De la ec. 1.7 se puede ver que $ds^2$ no siempre es positivo. Existen tres casos posibles. Si $ds^2>0$ el intervalo se denomina espacial, si $ds^2<0$ el intervalo es temporal y si $%% ds^2=0$ se denomina intervalo nulo. Este último es el que corresponde a la trayectoria seguida por un rayo de luz. [3]