Lagrangiano de la geometría

La densidad lagrangiana para la parte de la geometría está dada por la ec. 3.25

$$\mathrm{\mathcal{L}}_{geo}=\pi ^{ij}\dot{g}_{ij}+N\sqrt{^{\... ...2-\pi ^{ij}\pi _{ij}\right) \right] +2N_i\pi _{\mid j}^{ij}$$ (4.2)

de la ec. 4.1 se observa que la trimétrica está dada como

$$g_{ij}=diag\left( e^{V-U},e^{-V-U},e^{-M}\right)$$ (4.3)

y su derivada respecto del tiempo será

$$\dot{g}_{ij}=diag\left( \left( \dot{V}-\dot{U}\right) e^{V-... ...( -\dot{V}%% -\dot{U}\right) e^{-V-U},-\dot{M}e^{-M}\right)$$

El primer término de la ec. 4.2, $\pi ^{ij}\dot{g}_{ij}$ es

$$\pi ^{ij}\dot{g}_{ij} = \pi ^{11}\left( \dot{V}-\dot{U}\right) e^{V-U}+\pi ^{22}\left( -\dot{V}-\dot{U}\right) e^{-V-U}-\pi ^{33}\dot{M}e^{-M}$$

$$= \left( \pi ^{11}e^{V-U}-\pi ^{22}e^{-V-U}\right) \dot{V}-\left( \pi ^{11}e^{V-U}+\pi ^{22}e^{-V-U}\right) \dot{U}$$

$$-\pi ^{33}e^{-M}\dot{M}$$ (4.4)

esta última expresión sugiere la introducción de las siguientes variables

$$\pi _{V} = \pi ^{11}e^{V-U}-\pi ^{22}e^{-V-U}$$

$$\pi _{U} = -\pi ^{11}e^{V-U}-\pi ^{22}e^{-V-U}$$ (4.5)

$$\pi _{M} = -\pi ^{33}e^{-M}$$

sustituyendo estos nuevos momentos en la ec. 4.4 se obtiene que

$$\pi ^{ij}\dot{g}_{ij}=\pi _{U}\dot{U}+\pi _{V}\dot{V}+\pi _{M}\dot{M}$$ (4.6)

De las ecs. 4.5 se puede encontrar que los momentos originales $%% \pi ^{ij}$ en función de los nuevos momentos están dados por

$$\pi ^{11} = \frac{1}{2}e^{-V+U}\left( \pi _{V}-\pi _{U}\right)$$

$$\pi ^{22} = -\frac{1}{2}e^{V+U}\left( \pi _{V}+\pi _{U}\right)$$ (4.7)

$$\pi ^{33} = -e^{-M}\pi _{M}$$

De la ec. 3.14, se obtiene que $N=\sqrt{-g_{00}},$ es decir

$$N=e^{-M/2}$$ (4.8)

El determinante de la trimétrica es igual a producto de cada uno de los elementos de la matriz diagonal $g_{ij},$ esto es

$$^{\left( 3\right) }g=e^{-2U-M}$$ (4.9)

El escalar de curvatura $^{\left( 3\right) }R$ se calcula a partir de la ec. 2.31, sumando únicamente sobre las componentes espaciales del tensor de Ricci mixto $R_{i}^{i}$. Al hacer esto se encuentra que

$$^{\left( 3\right) }R=\frac{1}{2}e^{M}\left( -3\left( U^{\pr... ...^{\prime }M^{\prime }-\left( V^{\prime }\right) ^{2}\right)$$ (4.10)

el cálculo detallado de $^{\left( 3\right) }R$ se puede ver en el Apéndice. Desarrollando el término $\pi _{k}^{k}$ se tiene lo siguiente

$$\pi _{k}^{k} = \pi ^{kj}g_{kj}$$

$$= \pi ^{11}g_{11}+\pi ^{22}g_{22}+\pi ^{33}g_{33}$$ (4.11)

sustituyendo $\pi ^{kj}$ por los momentos de las ecs. 4.7, así como los valores de $g_{kj}$, la expresión anterior se convierte en

$$\pi _{k}^{k}=-\pi _{U}-\pi _{M}$$ (4.12)

De la misma manera, el término $\pi ^{ij}\,\pi _{ij}$ toma la forma

$$\pi ^{ij}\pi _{ij} = \left( \pi ^{11}g_{11}\right) ^{2}+\left( \pi ^{22}g_{22}\right) ^{2}+\left( \pi ^{33}g_{33}\right) ^{2}$$

$$= \frac{1}{2}\pi _{V}^{2}+\frac{1}{2}\pi _{U}^{2}+\pi _{M}^{2}$$ (4.13)

en donde también se han utilizado las ecs. 4.7. Por último, el término $\pi _{\mid j}^{ij}$ se calcula de la siguiente manera

$$\pi _{\mid j}^{ij} = \pi _{,j}^{ij}+\Gamma _{jk}^i\pi ^{jk}$$

$$= \pi _{,1}^{i1}+\pi _{,2}^{i2}+\pi _{,3}^{i3}+\Gamma _{11}^i\pi ^{11}+\Gamma _{22}^i\pi ^{22}+\Gamma _{33}^i\pi ^{33}$$ (4.14)

debido a que $\pi ^{ij}$ depende sólo de $\eta$ y $\mu$ las derivadas con respecto a $x$ e $y$ son idénticas a cero, quedando solamente la que corresponde a $\mu ,$ es decir, $j=3.$ Además, los símbolos de Christoffel diferentes de cero son $\Gamma _{11}^3,$ $\Gamma _{22}^3$ y $%% \Gamma _{33}^3$ (ver Apéndice). De lo anterior se deduce que la única componente diferente de cero de $\pi _{\mid j}^{ij}$ es la que se obtiene cuando $i=3,$ por lo tanto

$$\pi _{\mid j}^{3j} = \pi _{,3}^{33}+\Gamma _{11}^3\pi ^{11}+\Gamma _{22}^3\pi ^{22}+\Gamma _{33}^3\pi ^{33}$$

$$= \frac 12e^M\left( 2\pi _M^{\prime }+U^{\prime }\pi _U+V^{\prime }\pi _v+M^{\prime }\pi _M\right)$$ (4.15)

en donde se ha utilizado las ecs. 4.7. Utilizando los resultados de las ecs. 4.6, 4.8, 4.9, 4.10, 4.12, 4.13 y 4.15, al sustituirlos en la ec. 4.2 se tiene que

$$\mathcal{L}_{geo} = \pi _U\dot{U}+\pi _V\dot{V}+\pi _M\dot{M}+\frac 12e^{-U}\left[ -3... ...4U^{\prime \prime }+2U^{\prime }M^{\prime }-\left( V^{\prime }\right) ^2\right]$$

$$+e^U\left( \pi _U\pi _M-\frac 12\pi _V^2-\frac 12\pi _M^2\right) -N_3e^M(2\pi _M^{\prime }+U^{\prime }\pi _U+V^{\prime }\pi _v$$

$$+M^{\prime }\pi _M)$$ (4.16)

Esta expresión es la densidad lagrangiana en el espacio vacío, es decir, la parte que involucra a la geometría del espacio.