Solución para un caso especial

Al elegir un sistema de coordenadas co-movil, se tiene que $\omega =0$, con lo cual, las componentes de la cuadri-velocidad son $u_0=e^{-M/2}$ y $u_3=0,$ es decir que la velocidad del fluido de materia será $u_{\nu %% }=\left( e^{-M/2},0,0,0\right) .$ Con esta simplificación, las ecs. 4.52 y 4.53 se reducen a

$$\left( \epsilon +1\right) \left( \dot{M}+2\dot{U}\right) \rho -2\dot{\rho} = 0$$ (4.57)

$$M^{\prime }\left( \epsilon +1\right) \rho -2\epsilon \rho ^{\prime } = 0$$ (4.58)

Al resolver estas ecuaciones y despejar la densidad $\rho$ se encuentra que las soluciones son

$$\begin{array}{ccc} \rho =C\,e^{\frac{1}{2}\left( \epsilon ... ...rac{1}{2\epsilon }\left( \epsilon +1\right) M} \end{array}$$ (4.59)

respectivamente, donde $C$ es una constante arbitraria. Debido que las dos soluciones para $\rho$ deben ser equivalentes, al igualarlas se tiene que

$$\frac{1}{2}\left( \epsilon +1\right) \left( M+2U\right) = \frac{1}{%% 2\epsilon }\left( \epsilon +1\right) M$$

$$U = \frac{1}{2\epsilon }M\left( 1-\epsilon \right)$$ (4.60)

Esta ecuación expresa que el campo $U$ depende en forma lineal del campo $M.$ Tomando los resultados de las ecs. 4.59 y 4.60 para luego sustituirlos en la ec. 4.46 se llega a que

$$e^{\frac M{2\epsilon }\left( 1-\epsilon \right) +M}\left( \frac{\... ...al ^2e^{-U}}{\partial \eta ^2}-\frac{\partial ^2e^{-U}}{\partial \mu ^2}\right) = 8\pi Ge^{\frac M{2\epsilon }\left( \epsilon +1\right) }\left( \epsilon -1\right)$$

$$\frac{\partial ^2e^{-U}}{\partial \eta ^2}-\frac{\partial ^2e^{-U}}{\partial \mu ^2} = 8\pi G\left( \epsilon -1\right)$$ (4.61)

esta es una ecuación de onda no homogénea la cual acepta una solución exacta de la forma

$$e^{-U}=2\pi G\left( \epsilon -1\right) \left( \eta ^2-\mu ^... ...t( \mu +\eta \right) +\allowbreak F_2\left( \mu -\eta \right)$$ (4.62)

donde $F_1$ y $F_2$ son funciones arbitrarias en sus argumentos. De la ecuación anterior se obtiene la solución para la función $U$ se expresa como

$$U=-\ln \left[ 2\pi G\left( \epsilon -1\right) \left( \eta ^... ...\eta \right) +\allowbreak F_2\left( \mu -\eta \right) \right]$$ (4.63)

con lo cual, de las ec. 4.60 y la anterior se encuentra que la solución para la función $M$ tiene la siguiente forma

$$M=\frac{2\epsilon }{\epsilon -1}\ln \left[ 2\pi G\left( \ep... ...eta \right) +\allowbreak F_2\left( \mu -\eta \right) \right]$$ (4.64)

La solución para para la función $V$ depende de la forma que tengan las funciones arbitrarias $F_1$, $F_2$, $f$ y $g.$ Las condiciones de frontera se podrían escoger de tal manera que $F_1$ y $F_2$ sean funciones sencillas y con esto poder integrar las ecs. 4.51. Si se asume que la primera de las ecs. 4.51 no tiene una dependencia explícita de $\eta$ y la segunda no depende explícitamente de $\mu ,$ la ec. 4.49 queda satisfecha. Esto significa que ambas derivadas parciales son cero. En base a esto se puede proponer que $\dot{V}e^{-U}=2\pi G\left( \epsilon -1\right) \left( -2\mu \right)$, expresión en la cual no aparece la variable $\eta .$ Esto se puede reescribir de la siguiente manera

$$\dot{V}e^{-U} = 2\pi G\left( \epsilon -1\right) \left[ \left( \eta -\mu \right) -\left( \eta +\mu \right) \right]$$

$$= \left( \frac 1{\eta +\mu }-\frac 1{\eta -\mu }\right) \left[ 2\pi G\left( \epsilon -1\right) \left( \eta ^2-\mu ^2\right) \right]$$ (4.65)

La expresión que aparece entre corchetes es claramente $e^{-U},$ cuando se elige a las funciones arbitrarias $F_1=F_2=0$. Por lo tanto, el factor restante es $\dot{V}.$ Al integrar respecto de $\eta$ se encuentra que

$$V=\allowbreak \ln \left( \frac{\eta +\mu }{\eta -\mu }\right) +C$$ (4.66)

donde $C$ es una constante de integración. El mismo resultado se obtiene al considerar que $V^{\prime }e^{-U}=2\pi G\left( \epsilon -1\right) \left( 2\eta \right)$. Se tiene entonces que la solución para este caso especial es

$$M = \frac{2\epsilon }{\epsilon -1}\ln 2\pi G\left( \epsilon -1\right) \left( \eta ^2-\mu ^2\right)$$

$$U = -\ln 2\pi G\left( \epsilon -1\right) \left( \eta ^2-\mu ^2\right)$$ (4.67)

$$V = \ln \left( \frac{\eta +\mu }{\eta -\mu }\right) +C$$

En las siguientes gráficas se muestra el comportamiento de las componentes de la métrica. La figura 1 resulta de elegir las funciones arbitrarias como $F_1\left( \eta ,\mu \right) =A\sin \left( \eta +\mu \right)$ y $F_2\left( \eta ,\mu \right) =A\sin \left( \eta -\mu \right) ,$ tomando una amplitud $A=30.$ Así mismo, el valor de la constante $%% \epsilon$ ha sido tomado como $\frac 13.$ En modelos cosmológicos isotrópicos, esto representa un universo dominado por radiación. Las figuras 2, 3, 4 y 5 corresponden al caso particular en que $F_1=F_2=0.$

Figura 4.1: Componente $g_{33}$ con $F_1$ y $F_2$ diferentes de cero.

Figura 4.2: Componente $g_{00}$.

Figura 4.3: Componente $g_{11}$.

Figura 4.4: Componente $g_{22}$.

Figura 4.5: Componente $g_{33}$.